Um reservatório de água tem o formato de um cilindro sem a tampa superior e tem uma superfície total de
. Encontre os valores da altura h e raio da base r que maximizam a capacidade do reservatório.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um reservatório de água no formato de um cilindro sem a tampa, e a superfície total dele é de
. O objetivo aqui é encontrar a altura
e o raio da base
que fazem com que a capacidade (volume) do reservatório seja a maior possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente otimização, onde vamos maximizar uma função sujeita a uma condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. O volume
de um cilindro é dado por:
Aqui,
é o raio da base e
é a altura do cilindro. Nosso objetivo é maximizar esse volume.
Passo 3
Agora, precisamos considerar a condição que a superfície total do reservatório é de
. Como o cilindro não tem a tampa, a área total
é a soma da área da base e da área lateral. A fórmula fica:
Sabemos que
, então temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para facilitar. Podemos dividir ambos os lados por
:
Agora, queremos expressar uma das variáveis em termos da outra para substituir na fórmula do volume. Vamos isolar
:
Passo 5
Com
expresso em termos de
, podemos substituir isso na fórmula do volume
:
Vamos simplificar essa expressão:
Então, a função que queremos maximizar é:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza
, precisamos derivar
em relação a
e igualar a zero. Vamos encontrar a derivada
:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 7
Agora que temos o valor de
, podemos encontrar
usando a equação que isolou anteriormente:
Substituindo
:
Resposta
Para maximizar a capacidade do reservatório, a altura
e o raio da base
devem ser:
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