Um reservatório de água tem o formato de um cilindro sem a tampa superior e tem uma superfície total de 36 m^2. Encontre os valores da altura h e raio da base r que maximizam a capacidade do reservatório.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um reservatório de água no formato de um cilindro sem a tampa, e a superfície total dele é de 36 m^2. O objetivo aqui é encontrar a altura h e o raio da base r que fazem com que a capacidade (volume) do reservatório seja a maior possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente otimização, onde vamos maximizar uma função sujeita a uma condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. O volume V de um cilindro é dado por:
Aqui, r é o raio da base e h é a altura do cilindro. Nosso objetivo é maximizar esse volume.

Passo 3

Agora, precisamos considerar a condição que a superfície total do reservatório é de 36 m^2. Como o cilindro não tem a tampa, a área total A é a soma da área da base e da área lateral. A fórmula fica:
Sabemos que , então temos:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para facilitar. Podemos dividir ambos os lados por pi:
Agora, queremos expressar uma das variáveis em termos da outra para substituir na fórmula do volume. Vamos isolar h:

Passo 5

Com h expresso em termos de r, podemos substituir isso na fórmula do volume V:
Vamos simplificar essa expressão:
Então, a função que queremos maximizar é:

Passo 6

Para encontrar o valor de r que maximiza , precisamos derivar V em relação a r e igualar a zero. Vamos encontrar a derivada :
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 7

Agora que temos o valor de r, podemos encontrar h usando a equação que isolou anteriormente:
Substituindo :

Resposta

Para maximizar a capacidade do reservatório, a altura h e o raio da base r devem ser:

Exercícios relacionados