Um reservatório de água tem o formato de um cilindro sem a tampa superior e tem uma superfície total de . Encontre os valores da altura h e raio da base r que maximizam a capacidade do reservatório.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um reservatório de água no formato de um cilindro sem a tampa, e a superfície total dele é de . O objetivo aqui é encontrar a altura e o raio da base que fazem com que a capacidade (volume) do reservatório seja a maior possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente otimização, onde vamos maximizar uma função sujeita a uma condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. O volume de um cilindro é dado por:
Aqui, é o raio da base e é a altura do cilindro. Nosso objetivo é maximizar esse volume.

Passo 3

Agora, precisamos considerar a condição que a superfície total do reservatório é de . Como o cilindro não tem a tampa, a área total é a soma da área da base e da área lateral. A fórmula fica:
Sabemos que , então temos:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para facilitar. Podemos dividir ambos os lados por :
Agora, queremos expressar uma das variáveis em termos da outra para substituir na fórmula do volume. Vamos isolar :

Passo 5

Com expresso em termos de , podemos substituir isso na fórmula do volume :
Vamos simplificar essa expressão:
Então, a função que queremos maximizar é:

Passo 6

Para encontrar o valor de que maximiza , precisamos derivar em relação a e igualar a zero. Vamos encontrar a derivada :
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 7

Agora que temos o valor de , podemos encontrar usando a equação que isolou anteriormente:
Substituindo :

Resposta

Para maximizar a capacidade do reservatório, a altura e o raio da base devem ser:

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