Classificar os seguintes subconjuntos do R^2 em LI ou LD: (2,1),(3,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar o conjunto de vetores (2,1),(3,5) no espaço R^2 como Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear. Para resolver, a gente vai precisar entender o que significa vetores serem independentes ou dependentes e saber como verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é independência linear. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido como múltiplo escalar do outro. Se for possível expressar um vetor como uma combinação linear do outro, eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, vamos analisar os vetores v1 = (2,1) e v2 = (3,5). A gente precisa verificar se existe um número real k tal que v2 = k cdot v1.

Passo 4

Vamos tentar encontrar esse número k:
v2 = k cdot v1 Rightarrow (3,5) = k cdot (2,1) = (2k, k)
Isso nos dá o sistema de equações:
2k = 3 e k = 5

Passo 5

Resolvendo a primeira equação:
2k = 3 Rightarrow k = 32
Mas, pela segunda equação, k também deveria ser 5. Como 32 neq 5, não existe um valor de k que satisfaça ambas as equações simultaneamente.

Passo 6

Como não existe um múltiplo escalar que transforma v1 em v2, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto (2,1),(3,5) é Linearmente Independente (LI).

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