Dados os vetores v=(2,-1,-2) e w=(3,-6,-6), determine o operador autoadjunto T: R^3 R^3 tal que T(v)=(1,1,13) e T(v)=(3,21,33), sabendo que o traço da matriz [T]C^C é 5 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois vetores e em . Queremos encontrar um operador linear autoadjunto que transforma esses vetores de uma maneira específica:

  • Além disso, sabemos que o traço da matriz associada a , denotada por , é 5.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares, autoadjuntos, matrizes e traço de uma matriz.

Passo 2

Como [T] = a & b & c b & d & e c & e & f é um operador autoadjunto, a matriz associada a ele será simétrica. Ou seja, . Isso significa que a entrada na posição será igual à entrada na posição .
Vamos chamar a matriz de:
onde são os elementos que precisamos determinar.

Passo 3

Sabemos que o traço da matriz Traço([T]) = a + d + f = 5 é a soma dos elementos da diagonal principal. Ou seja:
ç
Essa é uma das equações que vamos usar para encontrar os valores de e .

Passo 4

Agora, vamos usar as informações sobre como T(v) = [T] cdot v = a & b & c b & d & e c & e & f 2 -1 -2 = 1 1 13 age nos vetores 2a - b - 2c = 1 2b - d - 2e = 1 2c - e - 2f = 13 e .
Sabemos que:
Vamos multiplicar a matriz pelo vetor:

Passo 5

De forma similar, para o vetor T(w) = [T] cdot w = a & b & c b & d & e c & e & f 3 -6 -6 = 3 21 33 :
3a - 6b - 6c = 3 3b - 6d - 6e = 21 3c - 6e - 6f = 33
Multiplicando a matriz pelo vetor:

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações para resolver:
2a - b - 2c = 1 (1) 2b - d - 2e = 1 (2) 2c - e - 2f = 13 (3) 3a - 6b - 6c = 3 (4) 3b - 6d - 6e = 21 (5) 3c - 6e - 6f = 33 (6) a + d + f = 5 (7)
Vamos simplificar essas equações para facilitar a resolução.

Passo 7

Primeiro, simplificamos as equações (4), (5) e (6) dividindo por 3:
a - 2b - 2c = 1 (4') b - 2d - 2e = 7 (5') c - 2e - 2f = 11 (6')
Agora, temos um sistema de 7 equações com 6 incógnitas.

Passo 8

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Primeiro, das equações (1) e (4’):
2a - b - 2c = 1 (1) a - 2b - 2c = 1 (4')
Subtraindo a equação (4’) da equação (1):
(2a - b - 2c) - (a - 2b - 2c) = 1 - 1 Rightarrow a + b = 0 Rightarrow a = -b

Passo 9

Agora, substituímos -b - 2b - 2c = 1 Rightarrow -3b - 2c = 1 na equação (4’):
-3b - 2c = 1 (8)
Vamos chamar essa equação de (8):

Passo 10

Vamos olhar para a equação (2):
2b - d - 2e = 1 (2)
E a equação (5’):
b - 2d - 2e = 7 (5')
Multiplicamos a equação (5’) por 2:
2b - 4d - 4e = 14 (5'')
Agora, subtraímos a equação (2) da equação (5’’):
(2b - 4d - 4e) - (2b - d - 2e) = 14 - 1 Rightarrow -3d - 2e = 13 (9)

Passo 11

Agora, olhamos para a equação (3):
2c - e - 2f = 13 (3)
E a equação (6’):
c - 2e - 2f = 11 (6')
Multiplicamos a equação (6’) por 2:
2c - 4e - 4f = 22 (6'')
Subtraímos a equação (3) da equação (6’’):
(2c - 4e - 4f) - (2c - e - 2f) = 22 - 13 Rightarrow -3e - 2f = 9 (10)

Passo 12

Agora, temos três novas equações:
-3b - 2c = 1 (8) -3d - 2e = 13 (9) -3e - 2f = 9 (10)
E a equação do traço:
a + d + f = 5 (7)
Sabemos que -b + d + f = 5 (7') , então podemos substituir isso na equação (7):

Passo 13

Vamos resolver as equações (8), (9) e (10) para encontrar -3b - 2c = 1 Rightarrow 3b + 2c = -1 (8') .
Primeiro, da equação (8):
2c = -1 - 3b Rightarrow c = -1 - 3b2
Podemos expressar em função de :

Passo 14

Da equação (9):
-3d - 2e = 13 Rightarrow 3d + 2e = -13 (9')
Podemos expressar 2e = -13 - 3d Rightarrow e = -13 - 3d2 em função de :

Passo 15

Da equação (10):
-3e - 2f = 9 Rightarrow 3e + 2f = -9 (10')
Substituímos 3(-13 - 3d2) + 2f = -9 Rightarrow -39 - 9d2 + 2f = -9 da equação (9’):
-39 - 9d + 4f = -18 Rightarrow -9d + 4f = 21 (11)
Multiplicamos tudo por 2 para eliminar o denominador:

Passo 16

Agora, temos:
-9d + 4f = 21 (11)
E da equação (7’):
-b + d + f = 5 (7')
Lembrando que e ainda temos e em função de e .
Vamos precisar de mais uma equação para resolver completamente. Observando que temos muitas variáveis em função de outras, podemos tentar atribuir valores ou encontrar relações adicionais.

Passo 17

Vamos voltar à equação (5’):
b - 2d - 2e = 7 (5')
Sabemos que b - 2d - 2(-13 - 3d2) = 7 Rightarrow b - 2d + 13 + 3d = 7 Rightarrow b + d + 13 = 7 , substituímos:
b + d = -6 (12)
Simplificando:

Passo 18

Agora, temos duas equações:
-9d + 4f = 21 (11) b + d = -6 (12)
E da equação (7’):
-b + d + f = 5 (7')
Substituímos -(-6 - d) + d + f = 5 Rightarrow 6 + d + d + f = 5 Rightarrow 2d + f = -1 (13) na equação (7’):

Passo 19

Agora, temos o sistema:
-9d + 4f = 21 (11) 2d + f = -1 (13)
Vamos resolver esse sistema para f = -1 - 2d e -9d + 4(-1 - 2d) = 21 Rightarrow -9d - 4 - 8d = 21 Rightarrow -17d = 25 Rightarrow d = -2517 .
Da equação (13):
Substituímos na equação (11):

Passo 20

Com f = -1 - 2(-2517) = -1 + 5017 = -17 + 5017 = 3317 , encontramos :

Passo 21

Agora, encontramos b + d = -6 Rightarrow b = -6 - d = -6 - (-2517) = -6 + 2517 = -102 + 2517 = -7717 usando a equação (12):

Passo 22

Com a = -b = 7717 , encontramos :

Passo 23

Agora, encontramos c = -1 - 3b2 = -1 - 3(-7717)2 = -1 + 231172 = -17 + 231172 = 21434 = 10717 usando a expressão da equação (8’):

Passo 24

Encontramos e = -13 - 3d2 = -13 - 3(-2517)2 = -13 + 75172 = -221 + 75172 = -14634 = -7317 usando a equação (9’):

Passo 25

Finalmente, já temos todos os elementos da matriz a = 7717 b = -7717 c = 10717 d = -2517 e = -7317 f = 3317 :
[T] = 7717 & -7717 & 10717 -7717 & -2517 & -7317 10717 & -7317 & 3317
Portanto, a matriz é:

Resposta

A matriz do operador autoadjunto [T] = 7717 & -7717 & 10717 -7717 & -2517 & -7317 10717 & -7317 & 3317 é:

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