Dados os vetores e , determine o operador autoadjunto tal que e , sabendo que o traço da matriz é 5 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois vetores e em . Queremos encontrar um operador linear autoadjunto que transforma esses vetores de uma maneira específica: - - Além disso, sabemos que o traço da matriz associada a , denotada por , é 5. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares, autoadjuntos, matrizes e traço de uma matriz.

Passo 2

Como é um operador autoadjunto, a matriz associada a ele será simétrica. Ou seja, . Isso significa que a entrada na posição será igual à entrada na posição . Vamos chamar a matriz de: onde são os elementos que precisamos determinar.

Passo 3

Sabemos que o traço da matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Ou seja: ç Essa é uma das equações que vamos usar para encontrar os valores de e .

Passo 4

Agora, vamos usar as informações sobre como age nos vetores e . Sabemos que: Vamos multiplicar a matriz pelo vetor:

Passo 5

De forma similar, para o vetor : Multiplicando a matriz pelo vetor:

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações para resolver: Vamos simplificar essas equações para facilitar a resolução.

Passo 7

Primeiro, simplificamos as equações (4), (5) e (6) dividindo por 3: Agora, temos um sistema de 7 equações com 6 incógnitas.

Passo 8

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, das equações (1) e (4'): Subtraindo a equação (4') da equação (1):

Passo 9

Agora, substituímos na equação (4'): Vamos chamar essa equação de (8):

Passo 10

Vamos olhar para a equação (2): E a equação (5'): Multiplicamos a equação (5') por 2: Agora, subtraímos a equação (2) da equação (5''):

Passo 11

Agora, olhamos para a equação (3): E a equação (6'): Multiplicamos a equação (6') por 2: Subtraímos a equação (3) da equação (6''):

Passo 12

Agora, temos três novas equações: E a equação do traço: Sabemos que , então podemos substituir isso na equação (7):

Passo 13

Vamos resolver as equações (8), (9) e (10) para encontrar . Primeiro, da equação (8): Podemos expressar em função de :

Passo 14

Da equação (9): Podemos expressar em função de :

Passo 15

Da equação (10): Substituímos da equação (9'): Multiplicamos tudo por 2 para eliminar o denominador:

Passo 16

Agora, temos: E da equação (7'): Lembrando que e ainda temos e em função de e . Vamos precisar de mais uma equação para resolver completamente. Observando que temos muitas variáveis em função de outras, podemos tentar atribuir valores ou encontrar relações adicionais.

Passo 17

Vamos voltar à equação (5'): Sabemos que , substituímos: Simplificando:

Passo 18

Agora, temos duas equações: E da equação (7'): Substituímos na equação (7'):

Passo 19

Agora, temos o sistema: Vamos resolver esse sistema para e . Da equação (13): Substituímos na equação (11):

Passo 20

Com , encontramos :

Passo 21

Agora, encontramos usando a equação (12):

Passo 22

Com , encontramos :

Passo 23

Agora, encontramos usando a expressão da equação (8'):

Passo 24

Encontramos usando a equação (9'):

Passo 25

Finalmente, já temos todos os elementos da matriz : Portanto, a matriz é:

Resposta

A matriz do operador autoadjunto é: