Dados os vetores e , determine o operador autoadjunto tal que e , sabendo que o traço da matriz é 5 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois vetores e em . Queremos encontrar um operador linear autoadjunto que transforma esses vetores de uma maneira específica:
Além disso, sabemos que o traço da matriz associada a , denotada por , é 5.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares, autoadjuntos, matrizes e traço de uma matriz.
Passo 2
Como é um operador autoadjunto, a matriz associada a ele será simétrica. Ou seja, . Isso significa que a entrada na posição será igual à entrada na posição .
Vamos chamar a matriz de:
onde são os elementos que precisamos determinar.
Passo 3
Sabemos que o traço da matriz Traço([T]) = a + d + f = 5 é a soma dos elementos da diagonal principal. Ou seja:
ç
Essa é uma das equações que vamos usar para encontrar os valores de e .
Passo 4
Agora, vamos usar as informações sobre como T(v) = [T] cdot v = a & b & c b & d & e c & e & f 2 -1 -2 = 1 1 13 age nos vetores 2a - b - 2c = 1 2b - d - 2e = 1 2c - e - 2f = 13 e .
Sabemos que:
Vamos multiplicar a matriz pelo vetor:
Passo 5
De forma similar, para o vetor T(w) = [T] cdot w = a & b & c b & d & e c & e & f 3 -6 -6 = 3 21 33 :
Multiplicamos tudo por 2 para eliminar o denominador:
Passo 16
Agora, temos:
-9d + 4f = 21 (11)
E da equação (7’):
-b + d + f = 5 (7')
Lembrando que e ainda temos e em função de e .
Vamos precisar de mais uma equação para resolver completamente. Observando que temos muitas variáveis em função de outras, podemos tentar atribuir valores ou encontrar relações adicionais.
Passo 17
Vamos voltar à equação (5’):
b - 2d - 2e = 7 (5')
Sabemos que b - 2d - 2(-13 - 3d2) = 7 Rightarrow b - 2d + 13 + 3d = 7 Rightarrow b + d + 13 = 7 , substituímos:
b + d = -6 (12)
Simplificando:
Passo 18
Agora, temos duas equações:
-9d + 4f = 21 (11) b + d = -6 (12)
E da equação (7’):
-b + d + f = 5 (7')
Substituímos -(-6 - d) + d + f = 5 Rightarrow 6 + d + d + f = 5 Rightarrow 2d + f = -1 (13) na equação (7’):
Passo 19
Agora, temos o sistema:
-9d + 4f = 21 (11) 2d + f = -1 (13)
Vamos resolver esse sistema para f = -1 - 2d e -9d + 4(-1 - 2d) = 21 Rightarrow -9d - 4 - 8d = 21 Rightarrow -17d = 25 Rightarrow d = -2517 .
Da equação (13):
Substituímos na equação (11):
Passo 20
Com f = -1 - 2(-2517) = -1 + 5017 = -17 + 5017 = 3317 , encontramos :
Passo 21
Agora, encontramos b + d = -6 Rightarrow b = -6 - d = -6 - (-2517) = -6 + 2517 = -102 + 2517 = -7717 usando a equação (12):
Passo 22
Com a = -b = 7717 , encontramos :
Passo 23
Agora, encontramos c = -1 - 3b2 = -1 - 3(-7717)2 = -1 + 231172 = -17 + 231172 = 21434 = 10717 usando a expressão da equação (8’):