Dados os vetores e , determine o operador autoadjunto tal que e , sabendo que o traço da matriz é 5 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois vetores e em . Queremos encontrar um operador linear autoadjunto que transforma esses vetores de uma maneira específica:
-
-
Além disso, sabemos que o traço da matriz associada a , denotada por , é 5.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares, autoadjuntos, matrizes e traço de uma matriz.
Passo 2
Como é um operador autoadjunto, a matriz associada a ele será simétrica. Ou seja, . Isso significa que a entrada na posição será igual à entrada na posição .
Vamos chamar a matriz de:
onde são os elementos que precisamos determinar.
Passo 3
Sabemos que o traço da matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Ou seja:
ç
Essa é uma das equações que vamos usar para encontrar os valores de e .
Passo 4
Agora, vamos usar as informações sobre como age nos vetores e .
Sabemos que:
Vamos multiplicar a matriz pelo vetor:
Passo 5
De forma similar, para o vetor :
Multiplicando a matriz pelo vetor:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Vamos simplificar essas equações para facilitar a resolução.
Passo 7
Primeiro, simplificamos as equações (4), (5) e (6) dividindo por 3:
Agora, temos um sistema de 7 equações com 6 incógnitas.
Passo 8
Vamos resolver o sistema passo a passo.
Primeiro, das equações (1) e (4'):
Subtraindo a equação (4') da equação (1):
Passo 9
Agora, substituímos na equação (4'):
Vamos chamar essa equação de (8):
Passo 10
Vamos olhar para a equação (2):
E a equação (5'):
Multiplicamos a equação (5') por 2:
Agora, subtraímos a equação (2) da equação (5''):
Passo 11
Agora, olhamos para a equação (3):
E a equação (6'):
Multiplicamos a equação (6') por 2:
Subtraímos a equação (3) da equação (6''):
Passo 12
Agora, temos três novas equações:
E a equação do traço:
Sabemos que , então podemos substituir isso na equação (7):
Passo 13
Vamos resolver as equações (8), (9) e (10) para encontrar .
Primeiro, da equação (8):
Podemos expressar em função de :
Passo 14
Da equação (9):
Podemos expressar em função de :
Passo 15
Da equação (10):
Substituímos da equação (9'):
Multiplicamos tudo por 2 para eliminar o denominador:
Passo 16
Agora, temos:
E da equação (7'):
Lembrando que e ainda temos e em função de e .
Vamos precisar de mais uma equação para resolver completamente. Observando que temos muitas variáveis em função de outras, podemos tentar atribuir valores ou encontrar relações adicionais.
Passo 17
Vamos voltar à equação (5'):
Sabemos que , substituímos:
Simplificando:
Passo 18
Agora, temos duas equações:
E da equação (7'):
Substituímos na equação (7'):
Passo 19
Agora, temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema para e .
Da equação (13):
Substituímos na equação (11):
Passo 20
Com , encontramos :
Passo 21
Agora, encontramos usando a equação (12):
Passo 22
Com , encontramos :
Passo 23
Agora, encontramos usando a expressão da equação (8'):
Passo 24
Encontramos usando a equação (9'):
Passo 25
Finalmente, já temos todos os elementos da matriz :
Portanto, a matriz é: