Verifique quais das seguintes matrizes são inversíveis e calcule as respectivas inversas.
(d) D=(lll1 & 0 & 0 2 & 3 & 0 4 & 5 & 6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a matriz D = 1 & 0 & 0 2 & 3 & 0 4 & 5 & 6 é inversível e, se for, calcular a sua inversa. A matriz dada é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversíveis e como calcular a inversa de uma matriz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz é inversível. Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .

Passo 3

A matriz det(D) = 1 times 3 times 6 = 18 é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então, vamos multiplicar os elementos da diagonal:

Passo 4

Como o determinante de é 18, que é diferente de zero, podemos concluir que a matriz é inversível.

Passo 5

Agora, vamos calcular a inversa da matriz D^-1 = a & 0 & 0 b & c & 0 d & e & f . Uma maneira eficiente de encontrar a inversa de uma matriz triangular é invertendo cada elemento da diagonal principal e ajustando os demais elementos conforme necessário.
Vamos denominar a inversa de por :
Onde são valores que precisamos determinar.

Passo 6

Como 2a + 3b = 0 Rightarrow 2(1) + 3b = 0 Rightarrow 3b = -2 Rightarrow b = -23 é triangular inferior, 4a + 5b + 6d = 0 Rightarrow 4(1) + 5(-23) + 6d = 0 Rightarrow 4 - 103 + 6d = 0 Rightarrow 23 + 6d = 0 Rightarrow 6d = -23 Rightarrow d = -19 também será triangular inferior. Para encontrar os elementos de :
Agora, vamos encontrar , e :
  • Para encontrar :
  • Para encontrar :
  • Para encontrar :
    Como não há elementos acima da diagonal, .

Passo 7

Agora que encontramos todos os elementos, podemos escrever a matriz inversa:
D^-1 = 1 & 0 & 0 -23 & 13 & 0 -19 & 0 & 16

Resposta

A matriz D^-1 = 1 & 0 & 0 -23 & 13 & 0 -19 & 0 & 16 é inversível e a sua inversa é:

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