Verifique quais das seguintes matrizes são inversíveis e calcule as respectivas inversas.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a matriz é inversível e, se for, calcular a sua inversa. A matriz dada é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversíveis e como calcular a inversa de uma matriz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz é inversível. Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
Passo 3
A matriz é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então, vamos multiplicar os elementos da diagonal:
Passo 4
Como o determinante de é 18, que é diferente de zero, podemos concluir que a matriz é inversível.
Passo 5
Agora, vamos calcular a inversa da matriz . Uma maneira eficiente de encontrar a inversa de uma matriz triangular é invertendo cada elemento da diagonal principal e ajustando os demais elementos conforme necessário.
Vamos denominar a inversa de por :
Onde são valores que precisamos determinar.
Passo 6
Como é triangular inferior, também será triangular inferior. Para encontrar os elementos de :
Agora, vamos encontrar , e :
Para encontrar :
Para encontrar :
Para encontrar :
Como não há elementos acima da diagonal, .
Passo 7
Agora que encontramos todos os elementos, podemos escrever a matriz inversa: