Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(2 x+y, x+y+z, y-3 z)
E seja R^3 com produto interno usual.
Se v=(2,-1,5) e w=(3,0,1), verifique que lang<= T(v), wrang<== lang<= v, T(w)rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um operador linear que transforma vetores em . Temos dois vetores e . A gente precisa verificar se o produto interno de com é igual ao produto interno de com . Para isso, vamos usar propriedades de operadores lineares e produto interno no espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o operador T(x, y, z) = (2x + y, x + y + z, y - 3z) no vetor T(v) = T(2, -1, 5) = (2*2 + (-1), 2 + (-1) + 5, (-1) - 3*5) = (4 - 1, 2 - 1 + 5, -1 - 15) = (3, 6, -16) . O operador é definido por:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno de lang<= a, b rang<= = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 com lang<= T(v), w rang<= = lang<= (3, 6, -16), (3, 0, 1) rang<= = 3*3 + 6*0 + (-16)*1 = 9 + 0 - 16 = -7 . O produto interno padrão em é:
Então:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o operador T(w) = T(3, 0, 1) = (2*3 + 0, 3 + 0 + 1, 0 - 3*1) = (6 + 0, 3 + 0 + 1, 0 - 3) = (6, 4, -3) no vetor :

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto interno de lang<= v, T(w) rang<= = lang<= (2, -1, 5), (6, 4, -3) rang<= = 2*6 + (-1)*4 + 5*(-3) = 12 - 4 - 15 = -7 com :

Resposta

Conseguimos verificar que .

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