Classificar os seguintes subconjuntos do em LI ou LD (Justifique):
d)
Gabarito: d) LD

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar o conjunto de vetores no espaço como Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear, que nos ajuda a entender se os vetores do conjunto se “dependem” uns dos outros ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se não conseguimos escrever um vetor como uma combinação dos outros, eles são independentes.
Por outro lado, se pelo menos um vetor puder ser escrito como combinação dos outros, o conjunto é linearmente dependente (LD).

Passo 3

Agora, como estamos em , que é um espaço bidimensional, qualquer conjunto com mais de dois vetores necessariamente será linearmente dependente. Isso acontece porque no máximo, apenas dois vetores em podem ser lineares e gerar todo o espaço. Assim, adicionar um terceiro vetor sempre cria uma dependência.

Passo 4

Para confirmar, vamos tentar encontrar coeficientes , e , não todos zero, que satisfaçam a equação:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, podemos encontrar soluções não triviais (onde pelo menos um coeficiente não é zero), o que confirma que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

d) LD

Exercícios relacionados

Dê exemplo de:
Quatro vetores: e , sendo L.I., L.I., e não são combinação linear de e e L.D.
Sejam e subespaços vetoriais de um espaço vetorial . Mostre que é subespaço vetorial de se, e somente se, ou .
Certo dispositivo eletrônico apresenta área exposta de . De forma a garantir a temperatura dessa superficie não ultrapasse quando a temperatura ambiente é de , deve ser removido calor a taxa de .
a) Determine o valor do coeficiente de transferência de calor convectivo para essa situação.
Determine os subespaços do gerados pelos seguintes conjuntos de vetores: