Dê exemplo de:
Quatro vetores: e , sendo L.I., L.I., e não são combinação linear de e e L.D.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de quatro vetores e com certas propriedades de independência e dependência linear. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre combinação linear e independência de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes ou dependentes, e como construir exemplos que atendam às condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente (L.I.). Um conjunto de vetores é L.I. se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Por outro lado, se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos demais, o conjunto é linearmente dependente (L.D.).
Passo 3
O enunciado nos dá as seguintes condições:
é L.I.
é L.I.
e não são combinações lineares de e .
é L.D.
Isso significa que e são independentes, assim como e , mas quando juntamos todos os quatro vetores, existe uma relação de dependência.
Passo 4
Vamos construir esses vetores no espaço tridimensional . Vamos escolher e como vetores padrão:
Esses dois vetores são claramente lineares e não são combinações um do outro, então é L.I.
Passo 5
Agora, precisamos escolher e que também sejam L.I. e que não sejam combinações de e . Vamos escolher:
Esses vetores também são L.I. porque nenhum pode ser escrito como múltiplo do outro, e claramente não são combinações de e .
Passo 6
Por fim, precisamos verificar que o conjunto é linearmente dependente. No espaço , qualquer conjunto com mais de três vetores é automaticamente L.D. porque eles não podem todos ser independentes em um espaço de dimensão três.