Dê exemplo de:
Quatro vetores: V1, V2, V3 e V4, sendo V1, V2 L.I., V3, V4 L.I., V3 e V4 não são combinação linear de V1 e V2 e V1, V2, V3, V4 L.D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de quatro vetores e com certas propriedades de independência e dependência linear. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre combinação linear e independência de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes ou dependentes, e como construir exemplos que atendam às condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente (L.I.). Um conjunto de vetores é L.I. se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Por outro lado, se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos demais, o conjunto é linearmente dependente (L.D.).

Passo 3

O enunciado nos dá as seguintes condições:
  1. é L.I.
  2. é L.I.
  3. e não são combinações lineares de e .
  4. é L.D.
Isso significa que e são independentes, assim como e , mas quando juntamos todos os quatro vetores, existe uma relação de dependência.

Passo 4

Vamos construir esses vetores no espaço tridimensional V1 = 1 0 0 , V2 = 0 1 0 . Vamos escolher e como vetores padrão:
Esses dois vetores são claramente lineares e não são combinações um do outro, então é L.I.

Passo 5

Agora, precisamos escolher V3 = 0 0 1 , V4 = 1 1 1 e que também sejam L.I. e que não sejam combinações de e . Vamos escolher:
Esses vetores também são L.I. porque nenhum pode ser escrito como múltiplo do outro, e claramente não são combinações de e .

Passo 6

Por fim, precisamos verificar que o conjunto é linearmente dependente. No espaço , qualquer conjunto com mais de três vetores é automaticamente L.D. porque eles não podem todos ser independentes em um espaço de dimensão três.

Resposta

Um exemplo que atende às condições é:
V1 = 1 0 0 , V2 = 0 1 0 , V3 = 0 0 1 , V4 = 1 1 1

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