Sejam
e
subespaços vetoriais de um espaço vetorial
. Mostre que
é subespaço vetorial de
se, e somente se,
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a união de dois subespaços vetoriais,
, também é um subespaço vetorial de
se e somente se um dos subespaços está contido no outro, ou seja,
ou
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como a união de dois conjuntos pode ou não formar um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial precisa satisfazer três propriedades:
- Contém o vetor zero.
- É fechado para adição (se você pegar dois vetores do subespaço, a soma deles também está no subespaço).
- É fechado para multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do subespaço por um escalar, o resultado também está no subespaço).
Vamos analisar se
atende a essas propriedades.
Passo 3
Propriedade 1: Contém o vetor zero
Como e
são subespaços de
, ambos contêm o vetor zero. Logo,
também contém o vetor zero. Essa parte está ok.
Como
Passo 4
Propriedade 2: Fechado para adição
Aqui é que pode complicar. Vamos ver:
Aqui é que pode complicar. Vamos ver:
Seja
em
e
também em
. Precisamos que
também esteja em
.
- Se
e estão ambos em , então está em , que está em . - Se
e estão ambos em , a mesma coisa acontece: está em . - Mas se
está em e está em , não necessariamente está em , a menos que um dos subespaços esteja contido no outro.
Então, para garantir que
seja fechado para adição, precisamos que sempre que somarmos dois vetores, ambos estejam no mesmo subespaço, ou seja, um subespaço está dentro do outro.
Passo 5
Propriedade 3: Fechado para multiplicação por escalar
Seja em
e
um escalar. Precisamos que
esteja em
.
Seja
- Se
está em , então está em . - Se
está em , então está em .
Portanto, a multiplicação por escalar sempre funciona, independentemente de um subespaço estar contido no outro.
Passo 6
Conclusão
A única parte que impõe uma condição específica é a propriedade da adição. Para que a união seja um subespaço vetorial, precisamos que sempre que somarmos dois vetores, eles pertençam ao mesmo subespaço. Isso só acontece se um dos subespaços estiver completamente contido dentro do outro, ou seja,
ou
.
A única parte que impõe uma condição específica é a propriedade da adição. Para que a união
Resposta
Portanto,
é um subespaço vetorial de
se e somente se
ou
.
Exercícios relacionados
Sejam os vetores
e
.
qual o valor de
?
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do
.
b)
b)
Dê exemplo de:
Quatro vetores: e
, sendo
L.I.,
L.I.,
e
não são combinação linear de
e
e
L.D.
Quatro vetores:
Classificar os seguintes subconjuntos do
em LI ou LD (Justifique):
d)
Gabarito: d) LD
d)
Gabarito: d) LD