Sejam e subespaços vetoriais de um espaço vetorial . Mostre que é subespaço vetorial de se, e somente se, ou .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a união de dois subespaços vetoriais, , também é um subespaço vetorial de se e somente se um dos subespaços está contido no outro, ou seja, ou . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como a união de dois conjuntos pode ou não formar um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um subespaço vetorial precisa satisfazer três propriedades:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado para adição (se você pegar dois vetores do subespaço, a soma deles também está no subespaço).
  3. É fechado para multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do subespaço por um escalar, o resultado também está no subespaço).
Vamos analisar se atende a essas propriedades.

Passo 3

Propriedade 1: Contém o vetor zero
Como e são subespaços de , ambos contêm o vetor zero. Logo, também contém o vetor zero. Essa parte está ok.

Passo 4

Propriedade 2: Fechado para adição
Aqui é que pode complicar. Vamos ver:
Seja em e também em . Precisamos que também esteja em .
  • Se e estão ambos em , então está em , que está em .
  • Se e estão ambos em , a mesma coisa acontece: está em .
  • Mas se está em e está em , não necessariamente está em , a menos que um dos subespaços esteja contido no outro.
Então, para garantir que seja fechado para adição, precisamos que sempre que somarmos dois vetores, ambos estejam no mesmo subespaço, ou seja, um subespaço está dentro do outro.

Passo 5

Propriedade 3: Fechado para multiplicação por escalar
Seja em e um escalar. Precisamos que esteja em .
  • Se está em , então está em .
  • Se está em , então está em .
Portanto, a multiplicação por escalar sempre funciona, independentemente de um subespaço estar contido no outro.

Passo 6

Conclusão
A única parte que impõe uma condição específica é a propriedade da adição. Para que a união seja um subespaço vetorial, precisamos que sempre que somarmos dois vetores, eles pertençam ao mesmo subespaço. Isso só acontece se um dos subespaços estiver completamente contido dentro do outro, ou seja, ou .

Resposta

Portanto, é um subespaço vetorial de se e somente se ou .

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b)
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Classificar os seguintes subconjuntos do em LI ou LD (Justifique):
d)
Gabarito: d) LD