Classificar os subconjuntos em LI ou LD.
2+x-x^2,-4-x+4 x^2, x+2 x^2 em P2.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de três polinômios em , que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. A tarefa é determinar se esse conjunto é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de combinação linear e como verificar a independência linear usando sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma combinação linear dos polinômios do conjunto igual a zero. Isso significa que vamos multiplicar cada polinômio por um coeficiente desconhecido e somar tudo, igualando a zero. Se a única solução para esses coeficientes for que todos são zero, então o conjunto é linearmente independente. Caso contrário, é linearmente dependente.
Então, temos:
c1 (2 + x - x^2) + c2 (-4 - x + 4x^2) + c3 (x + 2x^2) = 0

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes 2c1 + c1 x - c1 x^2 - 4c2 - c2 x + 4c2 x^2 + c3 x + 2c3 x^2 = 0 , (2c1 - 4c2) + (c1 - c2 + c3)x + (-c1 + 4c2 + 2c3)x^2 = 0 e dentro dos parênteses:
Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo 2c1 - 4c2 = 0 c1 - c2 + c3 = 0 -c1 + 4c2 + 2c3 = 0 , os coeficientes de cada potência de 2c1 - 4c2 = 0 implies c1 = 2c2 devem ser iguais a zero. Isso nos leva a um sistema de equações:
2c2 - c2 + c3 = 0 implies c2 + c3 = 0 implies c3 = -c2
Vamos resolver esse sistema. Começando pela primeira equação:
-2c2 + 4c2 + 2(-c2) = 0 implies (-2c2 + 4c2 - 2c2) = 0 implies 0 = 0
Substituindo nas outras equações:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Isso significa que temos infinitas soluções, já que a última equação é uma identidade verdadeira.

Passo 5

Como encontramos que existem valores de , e diferentes de zero que satisfazem a combinação linear igual a zero, isso significa que os polinômios são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto de polinômios é Linearmente Dependente (LD) em .

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