Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de três polinômios em , que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. A tarefa é determinar se esse conjunto é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de combinação linear e como verificar a independência linear usando sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma combinação linear dos polinômios do conjunto igual a zero. Isso significa que vamos multiplicar cada polinômio por um coeficiente desconhecido e somar tudo, igualando a zero. Se a única solução para esses coeficientes for que todos são zero, então o conjunto é linearmente independente. Caso contrário, é linearmente dependente.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes , e dentro dos parênteses:
Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos leva a um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Começando pela primeira equação:
Isso significa que temos infinitas soluções, já que a última equação é uma identidade verdadeira.
Passo 5
Como encontramos que existem valores de , e diferentes de zero que satisfazem a combinação linear igual a zero, isso significa que os polinômios são linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto de polinômios é Linearmente Dependente (LD) em .