Verifique se S é um subespaço vetorial. S=(x, y, z) ; x=4 y e z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar três coisas: se o conjunto não é vazio (contém o vetor zero), se é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em x = 4y implies 0 = 4 times 0 (Verdadeiro) . O vetor zero em z = 0 (Verdadeiro) é . Substituindo na condição de :
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se x1 = 4y1 e z1 = 0 é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores quaisquer em x2 = 4y2 e z2 = 0 , digamos u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (4y1 + 4y2, y1 + y2, 0 + 0) e x1 + x2 = 4(y1 + y2) e z1 + z2 = 0 , temos:
Somando os vetores:
Simplificando:
Então, também satisfaz as condições de , ou seja, está em .

Passo 4

Por último, vamos checar se x = 4y e z = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Pegamos um vetor cu = (cx, cy, cz) = (c times 4y, cy, c times 0) = (4(cy), cy, 0) em e um escalar . Temos:
Multiplicando por :
Então, também satisfaz e , ou seja, está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, e é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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