Verifique se é um subespaço vetorial. e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar três coisas: se o conjunto não é vazio (contém o vetor zero), se é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Substituindo na condição de :
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores quaisquer em , digamos e , temos:
Somando os vetores:
Simplificando:
Então, também satisfaz as condições de , ou seja, está em .

Passo 4

Por último, vamos checar se é fechado sob multiplicação por escalar. Pegamos um vetor em e um escalar . Temos:
Multiplicando por :
Então, também satisfaz e , ou seja, está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, e é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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