Verifique se
é um subespaço vetorial.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar três coisas: se o conjunto não é vazio (contém o vetor zero), se é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, temos:
Somando os vetores:
Simplificando:
Então,
também satisfaz as condições de
, ou seja, está em
.
Passo 4
Por último, vamos checar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Pegamos um vetor
em
e um escalar
. Temos:
Multiplicando por
:
Então,
também satisfaz
e
, ou seja, está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, e é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.