Mostre que os vetores a=(1,1,1), b=(, 1,1) e c=(0,0,1) geram o R^3.

Passo 1

Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional R^3:
a = (1, 1, 1), b = (0, 1, 1), c = (0, 0, 1)
A questão quer que a gente mostre que esses vetores “geram” o R^3. Basicamente, isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser feito combinando esses três vetores de alguma forma. Para provar isso, vamos usar o conceito de independência linear e base.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1
Queremos ver se essa matriz tem posto 3, ou seja, se suas colunas são linearmente independentes. Se forem, então elas formam uma base para R^3 e, portanto, geram todo o espaço.

Passo 3

Para verificar a independência linear, podemos calcular o determinante da matriz A. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Vamos calcular:
det(A) = 1 cdot 1 & 0 1 & 1 - 0 cdot 1 & 0 1 & 1 + 0 cdot 1 & 1 1 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) = 1
Como det(A) = 1 neq 0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Outra forma de ver isso é tentar resolver a equação:
xa + yb + zc = v,
onde v é um vetor qualquer em R^3 e x, y, z são escalares. Como os vetores são independentes e a matriz tem posto 3, sempre existe uma solução única para qualquer v. Isso mostra que os vetores a, b, c geram todo o espaço R^3.

Resposta

Portanto, os vetores a = (1,1,1), b = (0,1,1) e c = (0,0,1) geram o R^3.

Exercícios relacionados