Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional :
A questão quer que a gente mostre que esses vetores “geram” o . Basicamente, isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser feito combinando esses três vetores de alguma forma. Para provar isso, vamos usar o conceito de independência linear e base.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Queremos ver se essa matriz tem posto 3, ou seja, se suas colunas são linearmente independentes. Se forem, então elas formam uma base para e, portanto, geram todo o espaço.
Passo 3
Para verificar a independência linear, podemos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Vamos calcular:
Como , os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Outra forma de ver isso é tentar resolver a equação:
onde é um vetor qualquer em e são escalares. Como os vetores são independentes e a matriz tem posto 3, sempre existe uma solução única para qualquer . Isso mostra que os vetores geram todo o espaço .