Classifique, de acordo com o valor de , os sistemas abaixo em
а) ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com três equações e três incógnitas, onde o parâmetro k influencia as equações. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de k o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos precisar usar determinantes e conceitos de sistemas lineares para classificar o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial. As equações são:
x + y - k z = 0 k x + y - z = 2 - k x + k y - z = -k
Podemos montar a matriz dos coeficientes A e o vetor das constantes B:
A = 1 & 1 & -k k & 1 & -1 1 & k & -1 , B = 0 2 - k - k
Passo 3
Para classificar o sistema, precisamos calcular o determinante da matriz A. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter ou não soluções dependendo se as equações são compatíveis.
Vamos calcular det(A):
det(A) = 1 cdot 1 & -1 k & -1 - 1 cdot k & -1 1 & -1 + (-k) cdot k & 1 1 & k
Calculando os menores:
1 & -1 k & -1 = (1)(-1) - (-1)(k) = -1 + k
k & -1 1 & -1 = (k)(-1) - (-1)(1) = -k + 1
k & 1 1 & k = (k)(k) - (1)(1) = k^2 - 1
Substituindo na expressão do determinante:
det(A) = 1(-1 + k) - 1(-k + 1) + (-k)(k^2 - 1) = (-1 + k) + (k -1) -k^3 + k = (-1 + k + k -1) -k^3 + k = (2k -2) -k^3 + k = -k^3 + 3k -2
Passo 4
Agora, vamos resolver det(A) = -k^3 + 3k -2. Para descobrir quando o determinante é zero, vamos resolver a equação:
Então, as raízes são k=1 (multiplicidade 2) e k=-2.
Passo 5
Agora, vamos analisar os casos:
Quando k neq 1 e k neq -2: O determinante det(A) neq 0, então o sistema tem única solução.
Quando k=1: O determinante é zero. Precisamos verificar a compatibilidade. Substituindo k=1 nas equações originais:
x + y - z = 0 x + y - z =1 x + y - z = -1
Claramente, temos equações contraditórias (por exemplo, x + y - z igual a 0, 1 e -1 ao mesmo tempo), então o sistema é inconsistente, ou seja, não tem solução.
Quando k=-2: O determinante também é zero. Vamos substituir k=-2 nas equações:
x + y +2 z =0 -2x + y - z =4 x -2 y - z =2
Resolvendo esse sistema, notamos que duas das equações são lineares e uma a terceira depende delas, o que leva a infinitas soluções.