Classifique, de acordo com o valor de , os sistemas abaixo em
а) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com três equações e três incógnitas, onde o parâmetro influencia as equações. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos precisar usar determinantes e conceitos de sistemas lineares para classificar o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial. As equações são:
Podemos montar a matriz dos coeficientes e o vetor das constantes :

Passo 3

Para classificar o sistema, precisamos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter ou não soluções dependendo se as equações são compatíveis.
Vamos calcular :
Calculando os menores:
Substituindo na expressão do determinante:

Passo 4

Agora, vamos resolver . Para descobrir quando o determinante é zero, vamos resolver a equação:
Vamos tentar encontrar raízes racionais. Testando :
Então, é uma raiz. Vamos fatorar o polinômio:
Agora, fatorando :
Então, as raízes são (multiplicidade 2) e .

Passo 5

Agora, vamos analisar os casos:
  1. Quando e : O determinante , então o sistema tem única solução.
  2. Quando : O determinante é zero. Precisamos verificar a compatibilidade. Substituindo nas equações originais:
Claramente, temos equações contraditórias (por exemplo, igual a 0, 1 e -1 ao mesmo tempo), então o sistema é inconsistente, ou seja, não tem solução.
  1. Quando : O determinante também é zero. Vamos substituir nas equações:
Resolvendo esse sistema, notamos que duas das equações são lineares e uma a terceira depende delas, o que leva a infinitas soluções.

Resposta

O sistema apresenta:
  • Única solução para todo e .
  • Não tem solução quando .
  • Infinitas soluções quando .

Exercícios relacionados

Determinar o valor de para que o sistema

tenha:
nenhuma solução
Prove que o sistema

admite solulção se, e somente se, . Ache a solução geral do sistema quando e .
Representar graficamente os planos de equações:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) ;
(f) ;
(g) ;
(h) .
Determine de modo que o sistema linear seja indeterminado: