Determine de modo que o sistema linear seja indeterminado:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, e :
Queremos encontrar o valor de que faz com que esse sistema seja indeterminado, ou seja, que tenha infinitas soluções. Para isso, vamos usar o conceito de dependência linear entre as equações.

Passo 2

Para que o sistema seja indeterminado, as duas equações devem ser proporcionais, ou seja, uma deve ser um múltiplo da outra. Isso significa que os coeficientes de , e o termo constante devem ter a mesma proporção.
Vamos chamar as equações de Equação 1 e Equação 2:
çã
çã

Passo 3

Vamos comparar os coeficientes das variáveis nas duas equações. A proporção entre os coeficientes de deve ser igual à proporção entre os coeficientes de , e também igual à proporção entre os termos constantes.
Então, temos:

Passo 4

Vamos resolver essas proporções uma a uma.
Primeiro, calculemos :
Agora, :
Então, temos:

Passo 5

Agora, basta resolver para :

Resposta

O valor de que faz o sistema ser indeterminado é 12.

Exercícios relacionados

Representar graficamente os planos de equações:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) ;
(f) ;
(g) ;
(h) .
Classifique, de acordo com o valor de , os sistemas abaixo em
а) ;
Obter as equações paramétricas das retas nos seguintes casos:
(a) a reta passa por e é paralela a cada um dos planos e ;
(b) a reta passa pela origem, é ortogonal à reta e paralela ao plano .
Determinar o valor de para que o sistema

tenha:
mais de uma solução