Determinar o valor de k para que o sistema
lx+2 y+k z=1 2 x+k y+8 z=3
tenha:
nenhuma solução

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar o valor de x + 2y + kz = 1 2x + ky + 8z = 3 que faz com que o sistema de equações
não tenha solução. Estamos lidando com sistemas lineares aqui, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender quando um sistema linear é inconsistente, ou seja, quando não tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada para facilitar a análise:
1 & 2 & k & | & 1 2 & k & 8 & | & 3
Aqui, a barra vertical separa os coeficientes das variáveis dos termos constantes.

Passo 3

Agora, vamos usar o método de eliminação para simplificar o sistema. Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para ver se conseguimos chegar a uma contradição, o que indicaria que não há solução.
Vamos multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair a segunda equação dela:
Primeira equação multiplicada por 2:
2x + 4y + 2kz = 2
Subtraindo a segunda equação:
(2x + 4y + 2kz) - (2x + ky + 8z) = 2 - 3
Simplificando:
(2x - 2x) + (4y - ky) + (2kz - 8z) = -1
0x + (4 - k)y + (2k - 8)z = -1
Então, temos:
(4 - k)y + (2k - 8)z = -1

Passo 4

Agora, para que o sistema não tenha solução, essa última equação deve ser inconsistente. Ou seja, os coeficientes de 4 - k2k - 8 = coeficiente de ycoeficiente de z = constante e 4 - k2k - 8 neq constante que <=va à solução não podem satisfazer a equação para nenhum valor de e .
Isso acontece quando os coeficientes das variáveis são proporcionais, mas os termos constantes não são. Em termos matemáticos, a razão entre os coeficientes de e na nova equação deve ser a mesma da equação original, mas a razão com o termo constante deve ser diferente.
Então, igualamos as razões dos coeficientes:
Para que haja inconsistência:
àçã
Mas na verdade, para que não haja solução, precisamos que os dois coeficientes sejam proporcionais e o termo constante não siga essa proporção.

Passo 5

Vamos ajustar isso. A condição para que não haja solução é que as duas equações sejam paralelas, ou seja, as proporções dos coeficientes das variáveis sejam iguais, mas o termo constante seja diferente.
A equação resultante é:
(4 - k)y + (2k - 8)z = -1
Para que as equações sejam paralelas, a proporção entre os coeficientes 12 = xy e assim por diante, mas isso não nos ajuda diretamente e deve ser a mesma que na equação original.
Vamos comparar as proporções:
Da primeira equação original:
ã
Na verdade, para simplificar, vamos igualar a razão dos coeficientes de e na nova equação com a razão dos coeficientes na equação original.
Isso pode ser complicado, então uma abordagem melhor é resolver a equação resultante para ou e verificar quando não há solução.

Passo 6

Vamos resolver a equação resultante para (4 - k)y = -1 - (2k - 8)z :
y = -1 - (2k - 8)z4 - k
Isolando 0 cdot y = -1 - (8 - 8)z Rightarrow 0 = -1 :
Agora, se denominador , ou seja, , a equação fica:
Isso é uma contradição, já que nunca é igual a . Portanto, quando , o sistema não tem solução.

Resposta

O valor de que faz com que o sistema não tenha solução é .

Exercícios relacionados