Determinar o valor de para que o sistema
tenha:
nenhuma solução
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar o valor de que faz com que o sistema de equações
não tenha solução. Estamos lidando com sistemas lineares aqui, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender quando um sistema linear é inconsistente, ou seja, quando não tem solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada para facilitar a análise:
Aqui, a barra vertical separa os coeficientes das variáveis dos termos constantes.
Passo 3
Agora, vamos usar o método de eliminação para simplificar o sistema. Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para ver se conseguimos chegar a uma contradição, o que indicaria que não há solução.
Vamos multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair a segunda equação dela:
Primeira equação multiplicada por 2:
Subtraindo a segunda equação:
Simplificando:
Então, temos:
Passo 4
Agora, para que o sistema não tenha solução, essa última equação deve ser inconsistente. Ou seja, os coeficientes de e não podem satisfazer a equação para nenhum valor de e .
Isso acontece quando os coeficientes das variáveis são proporcionais, mas os termos constantes não são. Em termos matemáticos, a razão entre os coeficientes de e na nova equação deve ser a mesma da equação original, mas a razão com o termo constante deve ser diferente.
Então, igualamos as razões dos coeficientes:
Para que haja inconsistência:
Mas na verdade, para que não haja solução, precisamos que os dois coeficientes sejam proporcionais e o termo constante não siga essa proporção.
Passo 5
Vamos ajustar isso. A condição para que não haja solução é que as duas equações sejam paralelas, ou seja, as proporções dos coeficientes das variáveis sejam iguais, mas o termo constante seja diferente.
A equação resultante é:
Para que as equações sejam paralelas, a proporção entre os coeficientes e deve ser a mesma que na equação original.
Vamos comparar as proporções:
Da primeira equação original:
Na verdade, para simplificar, vamos igualar a razão dos coeficientes de e na nova equação com a razão dos coeficientes na equação original.
Isso pode ser complicado, então uma abordagem melhor é resolver a equação resultante para ou e verificar quando não há solução.
Passo 6
Vamos resolver a equação resultante para :
Isolando :
Agora, se denominador , ou seja, , a equação fica:
Isso é uma contradição, já que nunca é igual a . Portanto, quando , o sistema não tem solução.
Resposta
O valor de que faz com que o sistema não tenha solução é .