Prove que o sistema
admite solulção se, e somente se, . Ache a solução geral do sistema quando e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com quatro incógnitas: , , e . O objetivo é provar que esse sistema tem solução se, e somente se, . Além disso, queremos encontrar a solução geral quando e . Para resolver isso, vamos usar técnicas de álgebra linear, como o método da matriz aumentada e operações de linha para simplificar o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das incógnitas e os termos constantes em uma tabela, assim:
Essa matriz vai nos ajudar a aplicar operações que simplificam o sistema para achar as soluções.
Passo 3
Agora, vamos usar operações de linha para transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada forma escalonada. Primeiro, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é o 1 na primeira linha e primeira coluna). Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 7 vezes a primeira linha da terceira linha:
Passo 4
Continuando, vamos simplificar ainda mais. Podemos dividir a segunda linha por -9 para facilitar:
Agora, vamos zerar o coeficiente abaixo do pivô da segunda linha. Para isso, adicionamos 13 vezes a segunda linha à terceira linha:
Passo 5
Observamos que a última linha nos dá a condição para que o sistema tenha solução. Isso significa que, para o sistema ser compatível, essa igualdade precisa ser verdadeira.
Agora, vamos encontrar a solução geral quando e . Primeiro, vamos usar a condição:
Com , e , substituímos na matriz reduzida:
Isso nos dá as equações:
Podemos expressar em termos de e :
Substituindo na primeira equação:
Então, isolando :
Portanto, a solução geral do sistema quando e é:
Resposta
O sistema admite solução se, e somente se, . Quando e , a solução geral é dada por: