Prove que o sistema
lx+2 y+3 z-3 t=a 2 x-5 y-3 z+12 t=b 7 x+y+8 z+5 t=c
admite solulção se, e somente se, 37 a+13 b=9 c. Ache a solução geral do sistema quando a=2 e b=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com quatro incógnitas: , , e . O objetivo é provar que esse sistema tem solução se, e somente se, . Além disso, queremos encontrar a solução geral quando e . Para resolver isso, vamos usar técnicas de álgebra linear, como o método da matriz aumentada e operações de linha para simplificar o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das incógnitas e os termos constantes em uma tabela, assim:
1 & 2 & 3 & -3 & | & a 2 & -5 & -3 & 12 & | & b 7 & 1 & 8 & 5 & | & c
Essa matriz vai nos ajudar a aplicar operações que simplificam o sistema para achar as soluções.

Passo 3

Agora, vamos usar operações de linha para transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada forma escalonada. Primeiro, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é o 1 na primeira linha e primeira coluna). Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 7 vezes a primeira linha da terceira linha:
1 & 2 & 3 & -3 & | & a 0 & -9 & -9 & 18 & | & b - 2a 0 & -13 & -13 & 26 & | & c - 7a

Passo 4

Continuando, vamos simplificar ainda mais. Podemos dividir a segunda linha por -9 para facilitar:
1 & 2 & 3 & -3 & | & a 0 & 1 & 1 & -2 & | & 2a - b9 0 & -13 & -13 & 26 & | & c - 7a
Agora, vamos zerar o coeficiente abaixo do pivô da segunda linha. Para isso, adicionamos 13 vezes a segunda linha à terceira linha:
1 & 2 & 3 & -3 & | & a 0 & 1 & 1 & -2 & | & 2a - b9 0 & 0 & 0 & 0 & | & 37a + 13b - 9c

Passo 5

Observamos que a última linha nos dá a condição 37(2) + 13(4) = 74 + 52 = 126 = 9c Rightarrow c = 14 para que o sistema tenha solução. Isso significa que, para o sistema ser compatível, essa igualdade precisa ser verdadeira.
Agora, vamos encontrar a solução geral quando 1 & 2 & 3 & -3 & | & 2 0 & 1 & 1 & -2 & | & 4 - 49 = 0 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 e x + 2y + 3z - 3t = 2 y + z - 2t = 0 . Primeiro, vamos usar a condição:
y = -z + 2t
Com x + 2(-z + 2t) + 3z - 3t = 2 Rightarrow x - 2z + 4t + 3z - 3t = 2 Rightarrow x + z + t = 2 , x = 2 - z - t e x = 2 - z - t y = -z + 2t z = z (livre) t = t (livre) , substituímos na matriz reduzida:
Isso nos dá as equações:
Podemos expressar em termos de e :
Substituindo na primeira equação:
Então, isolando :
Portanto, a solução geral do sistema quando e é:

Resposta

O sistema admite solução se, e somente se, x = 2 - z - t y = -z + 2t z = z t = t . Quando e , a solução geral é dada por:
Onde e podem ser quaisquer números reais.

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