Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O conjunto R^2, munido das operações de adição e multiplicação por escalar, definidas respectivamente por:
  • (x1, y1)+(x2, y2)=(x1, y2+x1), e
  • alpha(x, y)=(-x, alpha^2 y),
    é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dizer se uma afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação fala sobre o conjunto R^2, que são todos os pares de números reais, e define como somamos e multiplicamos esses vetores por um escalar. A matéria que vamos usar aqui é a álgebra linear, especificamente os espaços vetoriais. Para resolver, a gente precisa verificar se as operações dadas obedecem as regras que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as regras básicas para um conjunto ser um espaço vetorial. Essas regras são chamadas de axiomas dos espaços vetoriais e são:
  1. Fechamento pela adição: Se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto.
  2. Fechamento pela multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor do conjunto por um número real, o resultado também está no conjunto.
  3. Associatividade da adição: A soma de três vetores não depende de como você agrupa eles.
  4. Comutatividade da adição: A ordem da soma não altera o resultado.
  5. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero que, quando adicionado a qualquer vetor, não muda o vetor.
  6. Elemento inverso da adição: Para todo vetor, existe um vetor que, somado a ele, resulta no vetor zero.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Multiplicar um escalar pela soma de dois vetores é igual a soma das multiplicações do escalar por cada vetor.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: A soma de dois escalares multiplicado por um vetor é igual à soma das multiplicações de cada escalar pelo vetor.
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares: Multiplicar dois escalares diferentes e depois multiplicar por um vetor é igual a multiplicar o primeiro escalar pelo produto do segundo escalar e o vetor.
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar o vetor por 1 não muda o vetor.
Vamos verificar se essas regras são satisfeitas com as operações dadas.

Passo 3

Vamos examinar a adição definida como:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y2 + x1)
Vamos ver se essa operação é associativa. Segundo o axioma, para quaisquer três vetores u, v, w, deve valer:
(u + v) + w = u + (v + w)
Vamos testar com vetores genéricos:
Seja u = (x1, y1), v = (x2, y2) e w = (x3, y3).
Calculando o lado esquerdo:
(u + v) + w = (x1, y2 + x1) + (x3, y3) = (x1, y3 + x1)
Calculando o lado direito:
u + (v + w) = (x1, y2 + x1) + (x3, y3) = (x1, y3 + x1)
Nesse caso, ambos os lados são iguais, então a associatividade está satisfeita.

Passo 4

Vamos verificar agora a comutatividade da adição, ou seja, se:
u + v = v + u
Usando a definição dada:
u + v = (x1, y2 + x1)
e
v + u = (x2, y1 + x2)
Para que u + v = v + u, precisamos que:
(x1, y2 + x1) = (x2, y1 + x2)
Isso significa que:
  1. x1 = x2
  2. y2 + x1 = y1 + x2
A primeira equação impõe que x1 = x2 e, consequentemente, a segunda se reduz a y2 = y1. Isso só acontece se os vetores forem iguais, o que não é sempre o caso. Portanto, a comutatividade da adição não é satisfeita.

Passo 5

Como a comutatividade da adição não foi atendida, já podemos concluir que o conjunto R^2 com as operações dadas não forma um espaço vetorial. Não precisamos verificar os outros axiomas, pois basta um único axioma não ser satisfeito para que o conjunto não seja um espaço vetorial.

Resposta

Falso. O conjunto R^2 com as operações definidas não forma um espaço vetorial.

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