Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O conjunto
, munido das operações de adição e multiplicação por escalar, definidas respectivamente por:
-
-
,
é um espaço vetorial.
O conjunto
é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dizer se uma afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação fala sobre o conjunto
, que são todos os pares de números reais, e define como somamos e multiplicamos esses vetores por um escalar. A matéria que vamos usar aqui é a álgebra linear, especificamente os espaços vetoriais. Para resolver, a gente precisa verificar se as operações dadas obedecem as regras que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as regras básicas para um conjunto ser um espaço vetorial. Essas regras são chamadas de axiomas dos espaços vetoriais e são:
- Fechamento pela adição: Se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto.
- Fechamento pela multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor do conjunto por um número real, o resultado também está no conjunto.
- Associatividade da adição: A soma de três vetores não depende de como você agrupa eles.
- Comutatividade da adição: A ordem da soma não altera o resultado.
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero que, quando adicionado a qualquer vetor, não muda o vetor.
- Elemento inverso da adição: Para todo vetor, existe um vetor que, somado a ele, resulta no vetor zero.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Multiplicar um escalar pela soma de dois vetores é igual a soma das multiplicações do escalar por cada vetor.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: A soma de dois escalares multiplicado por um vetor é igual à soma das multiplicações de cada escalar pelo vetor.
- Compatibilidade da multiplicação por escalares: Multiplicar dois escalares diferentes e depois multiplicar por um vetor é igual a multiplicar o primeiro escalar pelo produto do segundo escalar e o vetor.
- Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar o vetor por 1 não muda o vetor.
Vamos verificar se essas regras são satisfeitas com as operações dadas.
Passo 3
Vamos examinar a adição definida como:
Vamos ver se essa operação é associativa. Segundo o axioma, para quaisquer três vetores
,
,
, deve valer:
Vamos testar com vetores genéricos:
Seja
,
e
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Nesse caso, ambos os lados são iguais, então a associatividade está satisfeita.
Passo 4
Vamos verificar agora a comutatividade da adição, ou seja, se:
Usando a definição dada:
e
Para que
, precisamos que:
Isso significa que:
A primeira equação impõe que
e, consequentemente, a segunda se reduz a
. Isso só acontece se os vetores forem iguais, o que não é sempre o caso. Portanto, a comutatividade da adição não é satisfeita.
Passo 5
Como a comutatividade da adição não foi atendida, já podemos concluir que o conjunto
com as operações dadas não forma um espaço vetorial. Não precisamos verificar os outros axiomas, pois basta um único axioma não ser satisfeito para que o conjunto não seja um espaço vetorial.
Resposta
Falso. O conjunto
com as operações definidas não forma um espaço vetorial.