Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O conjunto W=(3,1),(5,2) gera o espaço vetorial R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos o conjunto e pergunta se ele gera todo o espaço vetorial . Isso está relacionado ao conteúdo de base e geração de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se os vetores de são suficientes para combinar e formar qualquer vetor em .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que um conjunto de vetores gera . Basicamente, se você consegue formar qualquer vetor do plano a partir de combinações lineares desses vetores, então eles geram .

Passo 3

Vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Se eles forem independentes, então eles formam uma base para , o que significa que eles geram o espaço todo.

Passo 4

Para testar a independência linear, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, eles são independentes.
A matriz fica assim:
3 & 5 1 & 2
O determinante é calculado por:
det = (3)(2) - (5)(1) = 6 - 5 = 1

Passo 5

Como o determinante é 1, que é diferente de zero, os vetores e são linearmente independentes. Isso significa que eles formam uma base para .

Resposta

Verdadeiro (V). O conjunto gera o espaço vetorial porque os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .

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