Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O conjunto
gera o espaço vetorial
.
O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos o conjunto
e pergunta se ele gera todo o espaço vetorial
. Isso está relacionado ao conteúdo de base e geração de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se os vetores de
são suficientes para combinar e formar qualquer vetor em
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa que um conjunto de vetores gera
. Basicamente, se você consegue formar qualquer vetor do plano a partir de combinações lineares desses vetores, então eles geram
.
Passo 3
Vamos verificar se os vetores
e
são linearmente independentes. Se eles forem independentes, então eles formam uma base para
, o que significa que eles geram o espaço todo.
Passo 4
Para testar a independência linear, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, eles são independentes.
A matriz fica assim:
O determinante é calculado por:
Passo 5
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, os vetores
e
são linearmente independentes. Isso significa que eles formam uma base para
.
Resposta
Verdadeiro (V). O conjunto
gera o espaço vetorial
porque os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para
.