Dada a aplicação
Determine o núcleo e a imagem de
, ou seja,
e
. Na sequência, calcule
e posto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o núcleo e a imagem da aplicação linear
definida por
. Além disso, precisamos calcular a nullidade (
) e o posto (
) dessa transformação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem, nullidade e posto de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de
, que é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja, queremos resolver a equação:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação,
implica que . - Substituindo
na segunda equação, temos , ou seja, .
Então, o único vetor que satisfaz essas equações é
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem de
, que é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos a partir de
. Para isso, observamos a forma da transformação:
Podemos representar
por uma matriz:
A imagem de
é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes e, portanto, a imagem de
é todo o espaço
:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a nullidade e o posto de
:
- Nullidade (
): É a dimensão do núcleo de . Já vimos que , que é um espaço trivial com dimensão 0. Então:
- Posto (
): É a dimensão da imagem de . Como , a dimensão é 2. Então:
Resposta
O núcleo de
é
, a imagem de
é
, a nullidade de
é 0 e o posto de
é 2.