Dada a aplicação
& T: R^2 longrightarrow R^2 &(x, y) & longmapsto T(x, y)=(2 y, x+y) :
Determine o núcleo e a imagem de T, ou seja, Ker(T) e Im(T). Na sequência, calcule null(T) e posto (T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o núcleo e a imagem da aplicação linear definida por . Além disso, precisamos calcular a nullidade ( ) e o posto ( ) dessa transformação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem, nullidade e posto de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T(x, y) = (2y, x + y) = (0, 0) , que é o conjunto de todos os vetores 2y = 0 x + y = 0 em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver a equação:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação, Ker(T) = (0, 0) implica que .
  2. Substituindo na segunda equação, temos , ou seja, .
Então, o único vetor que satisfaz essas equações é . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem de T(x, y) = (2y, x + y) , que é o conjunto de todos os vetores em A = 0 & 2 1 & 1 que podem ser obtidos a partir de det(A) = (0)(1) - (2)(1) = -2 neq 0 . Para isso, observamos a forma da transformação:
Im(T) = R^2
Podemos representar por uma matriz:
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes e, portanto, a imagem de é todo o espaço :

Passo 5

Por fim, vamos calcular a nullidade e o posto de null(T) = 0 :
  • Nullidade ( posto(T) = 2 ): É a dimensão do núcleo de . Já vimos que , que é um espaço trivial com dimensão 0. Então:
  • Posto ( ): É a dimensão da imagem de . Como , a dimensão é 2. Então:

Resposta

O núcleo de é , a imagem de é , a nullidade de é 0 e o posto de é 2.

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