Classifique os seguintes subconjuntos de em L.I. ou L.D.
a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de polinômios no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. O que precisamos fazer é verificar se o conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e verificar se existe uma combinação não trivial dos polinômios que resulta no polinômio zero.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear desses polinômios que resulta no polinômio zero:
Isso significa que para certos valores de , e , essa igualdade é verdadeira.
Passo 3
Vamos expandir a equação:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e .
Primeiro, da segunda equação:
Passo 6
Substituindo 3c1 + 2c1 + 4c3 = 0 Rightarrow 5c1 + 4c3 = 0 na primeira equação:
Passo 7
E substituindo c1 + 5c1 - 3c3 = 0 Rightarrow 6c1 - 3c3 = 0 na terceira equação:
Passo 8
Agora temos o seguinte sistema:
5c1 + 4c3 = 0 6c1 - 3c3 = 0
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda por 4 para eliminar 15c1 + 12c3 = 0 :
24c1 - 12c3 = 0
Somando as duas equações:
Então,
E substituindo na primeira equação:
Resposta
Como a única solução é , o conjunto é linearmente independente (L.I.).