Classifique os seguintes subconjuntos de P2(R) em L.I. ou L.D.
a) 3+t+t^2, 2-t+5 t^2, 4-3 t^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de polinômios no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. O que precisamos fazer é verificar se o conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e verificar se existe uma combinação não trivial dos polinômios que resulta no polinômio zero.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear desses polinômios que resulta no polinômio zero:
c1(3 + t + t^2) + c2(2 - t + 5 t^2) + c3(4 - 3 t^2) = 0
Isso significa que para certos valores de , e , essa igualdade é verdadeira.

Passo 3

Vamos expandir a equação:
3c1 + c1t + c1t^2 + 2c2 - c2t + 5c2t^2 + 4c3 - 3c3t^2 = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(3c1 + 2c2 + 4c3) + (c1 - c2)t + (c1 + 5c2 - 3c3)t^2 = 0

Passo 4

Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de 3c1 + 2c2 + 4c3 = 0 c1 - c2 = 0 c1 + 5c2 - 3c3 = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e .
Primeiro, da segunda equação:

Passo 6

Substituindo 3c1 + 2c1 + 4c3 = 0 Rightarrow 5c1 + 4c3 = 0 na primeira equação:

Passo 7

E substituindo c1 + 5c1 - 3c3 = 0 Rightarrow 6c1 - 3c3 = 0 na terceira equação:

Passo 8

Agora temos o seguinte sistema:
5c1 + 4c3 = 0 6c1 - 3c3 = 0
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda por 4 para eliminar 15c1 + 12c3 = 0 :
24c1 - 12c3 = 0
Somando as duas equações:
Então,
E substituindo na primeira equação:

Resposta

Como a única solução é , o conjunto é linearmente independente (L.I.).

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