Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O conjunto
é uma base do espaço vetorial
(polinômios de grau menor ou igual a 2).
O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma afirmação que pergunta se o conjunto
é uma base para o espaço vetorial
, que são os polinômios de grau menor ou igual a 2. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre bases de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se os polinômios do conjunto são linearmente independentes e se geram todo o espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma base. Uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições:
- Linearmente Independente: Nenhum vetor (ou polinômio, no nosso caso) pode ser escrito como combinação linear dos outros.
- Gerar o Espaço: Qualquer vetor (polinômio) no espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.
Como
tem dimensão 3, qualquer conjunto de 3 polinômios que seja linearmente independente será uma base.
Passo 3
Vamos verificar a linearidade dos polinômios. Para isso, consideramos a combinação linear:
Queremos encontrar se a única solução para
,
, e
é
. Expandindo a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Para essa igualdade ser verdadeira para todo valor de
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
,
e
.
Da terceira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Então, se
, de
, temos
, e de
,
.
Passo 5
Conseguimos apenas a solução trivial
. Isso significa que não há combinação não trivial dos polinômios que resulta no polinômio zero. Portanto, os polinômios são linearmente independentes.
Como temos 3 polinômios linearmente independentes em um espaço de dimensão 3 (
), eles também geram todo o espaço.
Resposta
A afirmação é Verdadeira (V). O conjunto
é uma base do espaço vetorial
.
Exercícios relacionados
Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O conjunto gera o espaço vetorial
.
O conjunto
Dada a aplicação
Determine o núcleo e a imagem de
, ou seja,
e
. Na sequência, calcule
e posto
.
Classifique os seguintes subconjuntos de
em L.I. ou L.D.
a)
a)
Dada a aplicação
Encontre o(s) autovalor(es) e o(s) respectivo(s) autovetor(es) de
. Na sequência, determine a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada um dos autovalores.