Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O conjunto t^2-t, t+2, t^2-3 t-2 é uma base do espaço vetorial P2 (polinômios de grau menor ou igual a 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma afirmação que pergunta se o conjunto t^2-t, t+2, t^2-3 t-2 é uma base para o espaço vetorial P2, que são os polinômios de grau menor ou igual a 2. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre bases de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se os polinômios do conjunto são linearmente independentes e se geram todo o espaço P2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma base. Uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições:
  1. Linearmente Independente: Nenhum vetor (ou polinômio, no nosso caso) pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Gerar o Espaço: Qualquer vetor (polinômio) no espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.
Como P2 tem dimensão 3, qualquer conjunto de 3 polinômios que seja linearmente independente será uma base.

Passo 3

Vamos verificar a linearidade dos polinômios. Para isso, consideramos a combinação linear:
a(t^2 - t) + b(t + 2) + c(t^2 - 3t - 2) = 0
Queremos encontrar se a única solução para a, b, e c é a = b = c = 0. Expandindo a equação:
a t^2 - a t + b t + 2b + c t^2 - 3c t - 2c = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(a + c) t^2 + (-a + b - 3c) t + (2b - 2c) = 0
Para essa igualdade ser verdadeira para todo valor de t, os coeficientes de cada potência de t devem ser iguais a zero:
  1. a + c = 0 (coeficiente de t^2)
  2. -a + b - 3c = 0 (coeficiente de t)
  3. 2b - 2c = 0 (termo constante)

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a, b e c.
Da terceira equação:
2b - 2c = 0 Rightarrow b = c
Substituindo b = c na segunda equação:
-a + c - 3c = 0 Rightarrow -a - 2c = 0 Rightarrow a = -2c
Substituindo a = -2c na primeira equação:
-2c + c = 0 Rightarrow -c = 0 Rightarrow c = 0
Então, se c = 0, de b = c, temos b = 0, e de a = -2c, a = 0.

Passo 5

Conseguimos apenas a solução trivial a = b = c = 0. Isso significa que não há combinação não trivial dos polinômios que resulta no polinômio zero. Portanto, os polinômios são linearmente independentes.
Como temos 3 polinômios linearmente independentes em um espaço de dimensão 3 ( P2), eles também geram todo o espaço.

Resposta

A afirmação é Verdadeira (V). O conjunto t^2-t, t+2, t^2-3 t-2 é uma base do espaço vetorial P2.

Exercícios relacionados

Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O conjunto W=(3,1),(5,2) gera o espaço vetorial R^2.
Dada a aplicação
& T: R^2 longrightarrow R^2 &(x, y) & longmapsto T(x, y)=(2 y, x+y) :
Determine o núcleo e a imagem de T, ou seja, Ker(T) e Im(T). Na sequência, calcule null(T) e posto (T).
Classifique os seguintes subconjuntos de P2(R) em L.I. ou L.D.
a) 3+t+t^2, 2-t+5 t^2, 4-3 t^2
Dada a aplicação
& T: R^2 longrightarrow R^2 &(x, y) & longmapsto T(x, y)=(2 y, x+y) :
Encontre o(s) autovalor(es) e o(s) respectivo(s) autovetor(es) de T. Na sequência, determine a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada um dos autovalores.