Dada a aplicação
& T: R^2 longrightarrow R^2 &(x, y) & longmapsto T(x, y)=(2 y, x+y) :
Encontre o(s) autovalor(es) e o(s) respectivo(s) autovetor(es) de T. Na sequência, determine a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada um dos autovalores.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma aplicação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar os autovalores e os autovetores dessa transformação. Depois, vamos determinar a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada autovalor. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes, determinantes e resolver equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a aplicação linear A = 0 & 2 1 & 1 como uma matriz. Isso facilita os cálculos quando queremos encontrar os autovalores e autovetores. A matriz associada a é:
Aqui, cada coluna da matriz representa a imagem dos vetores canônicos pela transformação .

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica. Essa equação é dada por:
Onde representa os autovalores e é a matriz identidade de mesma ordem que .

Passo 4

Vamos montar a matriz A - lambda I = - lambda & 2 1 & 1 - lambda :
det(A - lambda I) = (-lambda)(1 - lambda) - (2)(1) = -lambda + lambda^2 - 2
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
lambda^2 - lambda - 2 = 0
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 para encontrar os autovalores:
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda1 = 1 + 32 = 2 e lambda2 = 1 - 32 = -1
Então, temos dois autovalores:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para -2 & 2 1 & -1 v1 v2 = 0 0 :
Resolva -2v1 + 2v2 = 0 v1 - v2 = 0 :

[
1 1
1 & 2 1 & 2 v1 v2 = 0 0

v1 + 2v2 = 0 v1 + 2v2 = 0
]
Isso nos dá as equações:
-2 1
Resolvendo, temos . Então, um autovetor correspondente a é .
Para :
Resolva :

[


]
Isso nos dá as equações:
Resolvendo, temos . Então, um autovetor correspondente a é .

Passo 7

Por fim, vamos determinar a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada autovalor.
  • Multiplicidade Algébrica: É o número de vezes que o autovalor aparece como raiz da equação característica.
    • tem multiplicidade algébrica 1.
    • tem multiplicidade algébrica 1.
  • Multiplicidade Geométrica: É o número de autovetores linearmente independentes associados a cada autovalor (ou seja, a dimensão do espaço próprio).
    • tem multiplicidade geométrica 1.
    • tem multiplicidade geométrica 1.

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores são:
  • Autovalor 1 1 com autovetor -2 1.
  • Autovalor com autovetor .
A multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor é 1.

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