Dada a aplicação
Encontre o(s) autovalor(es) e o(s) respectivo(s) autovetor(es) de
. Na sequência, determine a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada um dos autovalores.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma aplicação linear
definida por
. Nosso objetivo é encontrar os autovalores e os autovetores dessa transformação. Depois, vamos determinar a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada autovalor. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes, determinantes e resolver equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a aplicação linear
como uma matriz. Isso facilita os cálculos quando queremos encontrar os autovalores e autovetores. A matriz associada a
é:
Aqui, cada coluna da matriz representa a imagem dos vetores canônicos pela transformação
.
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de
, precisamos resolver a equação característica. Essa equação é dada por:
Onde
representa os autovalores e
é a matriz identidade de mesma ordem que
.
Passo 4
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os autovalores:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois autovalores:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolva
:
[
]
Isso nos dá as equações:
Resolvendo, temos
. Então, um autovetor correspondente a
é
.
Para
:
Resolva
:
[
]
Isso nos dá as equações:
Resolvendo, temos
. Então, um autovetor correspondente a
é
.
Passo 7
Por fim, vamos determinar a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada autovalor.
-
Multiplicidade Algébrica: É o número de vezes que o autovalor aparece como raiz da equação característica.
-
tem multiplicidade algébrica 1. -
tem multiplicidade algébrica 1.
-
-
Multiplicidade Geométrica: É o número de autovetores linearmente independentes associados a cada autovalor (ou seja, a dimensão do espaço próprio).
-
tem multiplicidade geométrica 1. -
tem multiplicidade geométrica 1.
-
Resposta
Os autovalores e seus respectivos autovetores são:
- Autovalor
com autovetor . - Autovalor
com autovetor .
A multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor é 1.
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a)
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b)
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