Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O conjunto
é um subespaço vetorial sobre
relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
O conjunto
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
e queremos saber se esse conjunto é um subespaço vetorial do espaço
, usando as operações normais de adição de vetores e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar verificar três condições fundamentais de um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeira condição: O vetor zero pertence a W.
O vetor zero em
é
. Vamos substituir esses valores na equação que define W:
Simplificando:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está em W.
Passo 3
Segunda condição: W é fechado sob adição de vetores.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em W:
e
. Sabemos que:
Agora, somamos esses vetores:
Vamos verificar se
também está em W:
Como a soma resulta em zero,
está em W.
Passo 4
Terceira condição: W é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar um vetor qualquer em W:
, e um escalar
. Multiplicamos o vetor por
:
Agora, verificamos se
está em W:
Como o resultado é zero,
também pertence a W.
Resposta
Verdadeiro. O conjunto
é um subespaço vetorial de
porque contém o vetor zero, e é fechado sob adição de vetores e multiplicação por escalar.
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a)
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b)
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.