Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O conjunto
W=(x, y, z) in R^3 ; 3 x-2 y+z=0
é um subespaço vetorial sobre R relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
W = (x, y, z) in R^3 ; , 3x - 2y + z = 0
e queremos saber se esse conjunto é um subespaço vetorial do espaço R^3, usando as operações normais de adição de vetores e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar verificar três condições fundamentais de um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeira condição: O vetor zero pertence a W.
O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos substituir esses valores na equação que define W:
3(0) - 2(0) + 0 = 0
Simplificando:
0 - 0 + 0 = 0
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está em W.

Passo 3

Segunda condição: W é fechado sob adição de vetores.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em W: u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2). Sabemos que:
3x1 - 2y1 + z1 = 0 e 3x2 - 2y2 + z2 = 0
Agora, somamos esses vetores:
u + v = (x1 + x2, , y1 + y2, , z1 + z2)
Vamos verificar se u + v também está em W:
3(x1 + x2) - 2(y1 + y2) + (z1 + z2) = (3x1 - 2y1 + z1) + (3x2 - 2y2 + z2) = 0 + 0 = 0
Como a soma resulta em zero, u + v está em W.

Passo 4

Terceira condição: W é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar um vetor qualquer em W: u = (x, y, z), e um escalar c in R. Multiplicamos o vetor por c:
c cdot u = (c x, , c y, , c z)
Agora, verificamos se c cdot u está em W:
3(c x) - 2(c y) + (c z) = c(3x - 2y + z) = c cdot 0 = 0
Como o resultado é zero, c cdot u também pertence a W.

Resposta

Verdadeiro. O conjunto W é um subespaço vetorial de R^3 porque contém o vetor zero, e é fechado sob adição de vetores e multiplicação por escalar.

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