Dada a aplicação
Responda e justifique: O Operador linear
é diagonalizável? Caso positivo, determine uma base que diagonaliza
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
definida por
. A pergunta é: esse operador linear
é diagonalizável? Se for, a gente precisa encontrar uma base que diagonaliza ele. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que representa a transformação
. Como
transforma o vetor
em
, a matriz correspondente é:
Aqui, o primeiro elemento da primeira coluna é 0 porque
não depende de
no primeiro componente, e assim por diante.
Passo 3
Agora, para verificar se
é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores (valores próprios) da matriz
. Isso é feito resolvendo o polinômio característico:
Calculando:
Resolvendo
:
Portanto, os autovalores são
e
.
Passo 4
Como temos dois autovalores distintos, a matriz
é diagonalizável. Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
[
(A - 2I)\mathbf{v} = 0 \Rightarrow
]
Isso nos dá o sistema:
Então, um autovetor associado é
.
Para
:
[
(A + I)\mathbf{v} = 0 \Rightarrow
]
Isso nos dá o sistema:
Então, um autovetor associado é
.
Resposta
Sim, o operador linear
é diagonalizável. Uma base que diagonaliza
é formada pelos vetores
e
.