Dada a aplicação
& T: R^2 longrightarrow R^2 &(x, y) & longmapsto T(x, y)=(2 y, x+y) :
Responda e justifique: O Operador linear T é diagonalizável? Caso positivo, determine uma base que diagonaliza T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . A pergunta é: esse operador linear é diagonalizável? Se for, a gente precisa encontrar uma base que diagonaliza ele. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que representa a transformação A = 0 & 2 1 & 1 . Como transforma o vetor em , a matriz correspondente é:
Aqui, o primeiro elemento da primeira coluna é 0 porque não depende de no primeiro componente, e assim por diante.

Passo 3

Agora, para verificar se det(A - lambda I) = 0 é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores (valores próprios) da matriz det( 0 - lambda & 2 1 & 1 - lambda ) &= ( -lambda )(1 - lambda) - (2)(1) &= -lambda + lambda^2 - 2 &= lambda^2 - lambda - 2 . Isso é feito resolvendo o polinômio característico:
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Calculando:
Resolvendo :
Portanto, os autovalores são e .

Passo 4

Como temos dois autovalores distintos, a matriz (A - 2I)v = 0 Rightarrow -2 & 2 1 & -1 x y = 0 0 é diagonalizável. Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para -2x + 2y = 0 Rightarrow y = x :

[
(A - 2I)\mathbf{v} = 0 \Rightarrow
1 1
(A + I)v = 0 Rightarrow 1 & 2 1 & 2 x y = 0 0

x + 2y = 0 Rightarrow x = -2y
]
Isso nos dá o sistema:
-2 1
Então, um autovetor associado é .
Para :

[
(A + I)\mathbf{v} = 0 \Rightarrow


]
Isso nos dá o sistema:
Então, um autovetor associado é .

Resposta

Sim, o operador linear 1 1 é diagonalizável. Uma base que diagonaliza -2 1 é formada pelos vetores e .

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