Classifique os seguintes subconjuntos de P2(R) em L.I. ou L.D.
b) 1+3 t+3 t^2, t+4 t^2, 5+6 t+3 t^2, 7+2 t-t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma coleção de quatro polinômios no espaço e quer saber se esse conjunto de polinômios é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que lidam com combinações lineares e a ideia de independência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o espaço dos polinômios com grau no máximo 2. A base padrão desse espaço é , e a dimensão desse espaço é 3. Isso significa que qualquer conjunto de mais de três polinômios nesse espaço será, necessariamente, linearmente dependente.

Passo 3

Olhando para o seu conjunto:
1 + 3t + 3t^2, t + 4t^2, 5 + 6t + 3t^2, 7 + 2t - t^2
Temos quatro polinômios. Como a dimensão de é 3, e estamos trabalhando com quatro polinômios, já podemos concluir que esse conjunto é linearmente dependente sem precisar fazer mais cálculos.

Passo 4

Para reforçar, se tentássemos expressar um desses polinômios como uma combinação linear dos outros, sempre seria possível encontrar coeficientes que satisfaçam essa igualdade. Isso confirma a dependência linear do conjunto.

Resposta

O conjunto de polinômios é linearmente dependente (L.D.).

Exercícios relacionados

Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O conjunto
W=(x, y, z) in R^3 ; 3 x-2 y+z=0
é um subespaço vetorial sobre R relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
Dada a aplicação
& T: R^2 longrightarrow R^2 &(x, y) & longmapsto T(x, y)=(2 y, x+y) :
Encontre o(s) autovalor(es) e o(s) respectivo(s) autovetor(es) de T. Na sequência, determine a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada um dos autovalores.
Dada a aplicação
& T: R^2 longrightarrow R^2 &(x, y) & longmapsto T(x, y)=(2 y, x+y) :
Responda e justifique: O Operador linear T é diagonalizável? Caso positivo, determine uma base que diagonaliza T.
Quais dos seguintes conjuntos de vetores são bases de P2(R) ?
b) 1+t+t^2, 1+t^2, t^2