Classifique os seguintes subconjuntos de
em L.I. ou L.D.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma coleção de quatro polinômios no espaço
e quer saber se esse conjunto de polinômios é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que lidam com combinações lineares e a ideia de independência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o espaço dos polinômios com grau no máximo 2. A base padrão desse espaço é
, e a dimensão desse espaço é 3. Isso significa que qualquer conjunto de mais de três polinômios nesse espaço será, necessariamente, linearmente dependente.
Passo 3
Olhando para o seu conjunto:
Temos quatro polinômios. Como a dimensão de
é 3, e estamos trabalhando com quatro polinômios, já podemos concluir que esse conjunto é linearmente dependente sem precisar fazer mais cálculos.
Passo 4
Para reforçar, se tentássemos expressar um desses polinômios como uma combinação linear dos outros, sempre seria possível encontrar coeficientes que satisfaçam essa igualdade. Isso confirma a dependência linear do conjunto.
Resposta
O conjunto de polinômios é linearmente dependente (L.D.).
Exercícios relacionados
Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O conjunto
O conjunto
é um subespaço vetorial sobre
relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
Dada a aplicação
Encontre o(s) autovalor(es) e o(s) respectivo(s) autovetor(es) de
. Na sequência, determine a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada um dos autovalores.
Dada a aplicação
Responda e justifique: O Operador linear
é diagonalizável? Caso positivo, determine uma base que diagonaliza
.
Quais dos seguintes conjuntos de vetores são bases de
?
b)
b)