Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O vetor é uma combinação linear dos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos analisar a afirmação: o vetor é uma combinação linear dos vetores e . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de combinação linear. Para resolver isso, precisamos descobrir se existem números e que, quando multiplicados pelos vetores e respectivamente, somam o vetor . Ou seja, queremos ver se .
Passo 2
Vamos escrever isso de forma mais concreta. Se , então:
Isso significa que:
Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Passo 3
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos resolver a primeira equação para a = 4 - 2b :
Agora, substituímos 2(4 - 2b) - b = -6 8 - 4b - b = -6 8 - 5b = -6 -5b = -14 b = 2.8 na segunda e terceira equações:
Segunda equação:
Terceira equação:
Vamos notar que as soluções para são diferentes ( e ), o que significa que não há um valor único de que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo.
Resposta
Falso. Não existem valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente, portanto, o vetor não é uma combinação linear de e .