Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O vetor v=(4,3,-6) é uma combinação linear dos vetores v1=(1,-3,2) e v2=(2,4,-1).

Passo 1

Beleza, vamos analisar a afirmação: o vetor é uma combinação linear dos vetores e . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de combinação linear. Para resolver isso, precisamos descobrir se existem números e que, quando multiplicados pelos vetores e respectivamente, somam o vetor . Ou seja, queremos ver se .

Passo 2

Vamos escrever isso de forma mais concreta. Se (4, 3, -6) = a cdot (1, -3, 2) + b cdot (2, 4, -1) , então:
(4, 3, -6) = (a + 2b, -3a + 4b, 2a - b)
Isso significa que:
Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
  1. Primeira componente:
  2. Segunda componente:
  3. Terceira componente:

Passo 3

Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas:
a + 2b = 4 -3a + 4b = 3 2a - b = -6
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos resolver a primeira equação para a = 4 - 2b :
-3(4 - 2b) + 4b = 3 -12 + 6b + 4b = 3 10b = 15 b = 1.5
Agora, substituímos 2(4 - 2b) - b = -6 8 - 4b - b = -6 8 - 5b = -6 -5b = -14 b = 2.8 na segunda e terceira equações:
Segunda equação:
Terceira equação:
Vamos notar que as soluções para são diferentes ( e ), o que significa que não há um valor único de que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo.

Resposta

Falso. Não existem valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente, portanto, o vetor não é uma combinação linear de e .

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