Mostre que o conjunto de vetores dados abaixo é uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de quatro matrizes 2x2 e precisa mostrar que esse conjunto forma uma base para , que é o espaço de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para fazer isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, bases e independência linear. Basicamente, precisamos provar que essas quatro matrizes são linearmente independentes e que geram todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que um conjunto de vetores (no caso, matrizes) é uma base. Uma base precisa satisfazer duas condições:
Linearmente Independente: Nenhuma matriz do conjunto pode ser escrita como combinação das outras.
Gera o Espaço: Qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes do conjunto.
Vamos verificar essas duas condições para o nosso conjunto de matrizes.
Passo 3
Vamos começar mostrando que as matrizes são linearmente independentes. Para isso, supomos que uma combinação linear das matrizes iguala a matriz zero, e mostramos que os coeficientes dessa combinação devem ser zero.
Sejam as matrizes:
Queremos encontrar scalars tais que:
Vamos montar o sistema de equações resultante.
Passo 4
Multiplicando as matrizes pelos coeficientes e somando, temos:
Isso resulta nas seguintes equações para cada posição da matriz:
(posição [1,1])
(posição [1,2])
(posição [2,1])
(posição [2,2])
Passo 5
Agora, temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas. Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de .
Isso só é possível se k1 = 0 implies k2 = 0, k3 = 0, k4 = 0 . Então:
Passo 10
Como a única solução para o sistema é , isso significa que as matrizes são linearmente independentes.
Passo 11
Agora, vamos ver se as matrizes geram todo o espaço . Sabemos que tem dimensão 4 (porque cada matriz 2x2 tem 4 elementos independentes). Como temos 4 matrizes que são linearmente independentes, elas necessariamente geram o espaço.
Resposta
Portanto, o conjunto dado de quatro matrizes é uma base para .