Mostre que o conjunto de vetores dados abaixo é uma base de M2(R).
[rr 3 & 6 3 & -6 ],[rr 0 & -1 -1 & 0 ],[cc 0 & -8 -12 & -4 ],[rr 1 & 0 -1 & 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de quatro matrizes 2x2 e precisa mostrar que esse conjunto forma uma base para M2(R), que é o espaço de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para fazer isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, bases e independência linear. Basicamente, precisamos provar que essas quatro matrizes são linearmente independentes e que geram todo o espaço M2(R).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que um conjunto de vetores (no caso, matrizes) é uma base. Uma base precisa satisfazer duas condições:
  1. Linearmente Independente: Nenhuma matriz do conjunto pode ser escrita como combinação das outras.
  2. Gera o Espaço: Qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes do conjunto.
Vamos verificar essas duas condições para o nosso conjunto de matrizes.

Passo 3

Vamos começar mostrando que as matrizes são linearmente independentes. Para isso, supomos que uma combinação linear das matrizes iguala a matriz zero, e mostramos que os coeficientes dessa combinação devem ser zero.
Sejam as matrizes:
A = 3 & 6 3 & -6 , B = 0 & -1 -1 & 0 , C = 0 & -8 -12 & -4 , D = 1 & 0 -1 & 2
Queremos encontrar scalars k1, k2, k3, k4 tais que:
k1 A + k2 B + k3 C + k4 D = 0 & 0 0 & 0
Vamos montar o sistema de equações resultante.

Passo 4

Multiplicando as matrizes pelos coeficientes e somando, temos:
k1 3 & 6 3 & -6 + k2 0 & -1 -1 & 0 + k3 0 & -8 -12 & -4 + k4 1 & 0 -1 & 2 = 0 & 0 0 & 0
Isso resulta nas seguintes equações para cada posição da matriz:
  1. (posição [1,1])
  2. (posição [1,2])
  3. (posição [2,1])
  4. (posição [2,2])

Passo 5

Agora, temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas. Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de 3k1 + k4 = 0 & (1) 6k1 - k2 - 8k3 = 0 & (2) 3k1 - k2 - 12k3 - k4 = 0 & (3) -6k1 - 4k3 + 2k4 = 0 & (4) .
Vamos escrever o sistema:
Vamos resolver passo a passo.

Passo 6

A partir da equação (1):
3k1 + k4 = 0 implies k4 = -3k1
Agora, substituímos nas demais equações.

Passo 7

Substituindo 3k1 - k2 - 12k3 - (-3k1) = 0 implies 6k1 - k2 - 12k3 = 0 (3a) na equação (3):
6k1 - k2 - 8k3 = 0 & (2) 6k1 - k2 - 12k3 = 0 & (3a) -6k1 - 4k3 + 2(-3k1) = 0 & (4)
Agora temos:
-6k1 - 4k3 - 6k1 = 0 implies -12k1 - 4k3 = 0 implies 3k1 + k3 = 0 implies k3 = -3k1
Simplificando a equação (4):

Passo 8

Agora que temos 6k1 - k2 - 8(-3k1) = 0 implies 6k1 - k2 + 24k1 = 0 implies 30k1 - k2 = 0 implies k2 = 30k1 , substituímos esse valor nas equações (2) e (3a):
Na equação (2):
6k1 - k2 - 12(-3k1) = 0 implies 6k1 - k2 + 36k1 = 0 implies 42k1 - k2 = 0 implies k2 = 42k1
Na equação (3a):

Passo 9

Observamos que:
k2 = 30k1 e k2 = 42k1
Isso só é possível se k1 = 0 implies k2 = 0, k3 = 0, k4 = 0 . Então:

Passo 10

Como a única solução para o sistema é , isso significa que as matrizes são linearmente independentes.

Passo 11

Agora, vamos ver se as matrizes geram todo o espaço . Sabemos que tem dimensão 4 (porque cada matriz 2x2 tem 4 elementos independentes). Como temos 4 matrizes que são linearmente independentes, elas necessariamente geram o espaço.

Resposta

Portanto, o conjunto dado de quatro matrizes é uma base para .

Exercícios relacionados

Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O vetor v=(4,3,-6) é uma combinação linear dos vetores v1=(1,-3,2) e v2=(2,4,-1).
Quais dos seguintes conjuntos de vetores são bases de P2(R) ?
b) 1+t+t^2, 1+t^2, t^2
Determinar as coordenados dos vetores abaixo em relaçao às bases dadas:
d) (rr2 & 0 -1 & 3) em relação à base (rr-1 & 1 0 & 0),(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 1) de M2(R).
Dada a aplicação
& T: R^2 longrightarrow R^2 &(x, y) & longmapsto T(x, y)=(2 y, x+y) :
Mostre que T é um operador linear.