Quais dos seguintes conjuntos de vetores são bases de P2(R) ?
b) 1+t+t^2, 1+t^2, t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir se o conjunto de vetores 1+t+t^2, 1+t^2, t^2 forma uma base para o espaço P2(R). Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com espaços vetoriais de polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, precisamos verificar duas coisas principais:
  1. Independência Linear: Os vetores não podem ser combinações lineares uns dos outros.
  2. Geração do Espaço: Os vetores devem conseguir “preencher” todo o espaço P2(R).
Se essas duas condições forem atendidas, então o conjunto é uma base desse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que P2(R) é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2, ou seja, polinômios da forma a + b t + c t^2, onde a, b, c são números reais. Esse espaço tem dimensão 3, o que significa que qualquer base dele precisa ter exatamente 3 vetores. Nosso conjunto tem 3 vetores, então já estamos no caminho certo.

Passo 3

Agora, vamos verificar a independência linear dos vetores 1+t+t^2, 1+t^2, t^2. Para fazer isso, assumimos que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor nulo (o polinômio zero) e verificamos se a única solução é quando todos os coeficientes são zero.
Matematicamente, queremos encontrar os escalares a, b e c tais que:
a(1 + t + t^2) + b(1 + t^2) + c t^2 = 0

Passo 4

Vamos expandir essa equação:
a(1) + a(t) + a(t^2) + b(1) + b(t^2) + c(t^2) = 0
Agrupando os termos semelhantes, temos:
(a + b) + a t + (a + b + c) t^2 = 0
Agora, para que isso seja igual ao polinômio zero, os coeficientes de cada potência de t devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + b = 0 a = 0 a + b + c = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação: a = 0.
  2. Substituindo a = 0 na primeira equação: 0 + b = 0 Rightarrow b = 0.
  3. Substituindo a = 0 e b = 0 na terceira equação: 0 + 0 + c = 0 Rightarrow c = 0.
A única solução possível é a = b = c = 0, o que significa que os vetores são linharmente independentes.

Resposta

Como temos 3 vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 3, o conjunto 1+t+t^2, 1+t^2, t^2 é uma base para P2(R).

Exercícios relacionados

Dada a aplicação
& T: R^2 longrightarrow R^2 &(x, y) & longmapsto T(x, y)=(2 y, x+y) :
Responda e justifique: O Operador linear T é diagonalizável? Caso positivo, determine uma base que diagonaliza T.
Classifique os seguintes subconjuntos de P2(R) em L.I. ou L.D.
b) 1+3 t+3 t^2, t+4 t^2, 5+6 t+3 t^2, 7+2 t-t^2
Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O vetor v=(4,3,-6) é uma combinação linear dos vetores v1=(1,-3,2) e v2=(2,4,-1).
Mostre que o conjunto de vetores dados abaixo é uma base de M2(R).
[rr 3 & 6 3 & -6 ],[rr 0 & -1 -1 & 0 ],[cc 0 & -8 -12 & -4 ],[rr 1 & 0 -1 & 2 ]