Quais dos seguintes conjuntos de vetores são bases de ?
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir se o conjunto de vetores forma uma base para o espaço . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com espaços vetoriais de polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, precisamos verificar duas coisas principais:
Independência Linear: Os vetores não podem ser combinações lineares uns dos outros.
Geração do Espaço: Os vetores devem conseguir “preencher” todo o espaço .
Se essas duas condições forem atendidas, então o conjunto é uma base desse espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2, ou seja, polinômios da forma , onde são números reais. Esse espaço tem dimensão 3, o que significa que qualquer base dele precisa ter exatamente 3 vetores. Nosso conjunto tem 3 vetores, então já estamos no caminho certo.
Passo 3
Agora, vamos verificar a independência linear dos vetores . Para fazer isso, assumimos que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor nulo (o polinômio zero) e verificamos se a única solução é quando todos os coeficientes são zero.
Matematicamente, queremos encontrar os escalares , e tais que:
Passo 4
Vamos expandir essa equação:
Agrupando os termos semelhantes, temos:
Agora, para que isso seja igual ao polinômio zero, os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação: a = 0.
Substituindo a = 0 na primeira equação: 0 + b = 0Rightarrowb = 0.
Substituindo a = 0 e b = 0 na terceira equação: 0 + 0 + c = 0Rightarrowc = 0.
A única solução possível é a = b = c = 0, o que significa que os vetores são linharmente independentes.
Resposta
Como temos 3 vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 3, o conjunto 1+t+t^2, 1+t^2, t^2é uma base para P2(R).