Determinar as coordenados dos vetores abaixo em relaçao às bases dadas:
d) (rr2 & 0 -1 & 3) em relação à base (rr-1 & 1 0 & 0),(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 1) de M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor (que na verdade é uma matriz) 2 & 0 -1 & 3 em relação a uma base específica de matrizes M2(R). Isso significa que precisamos expressar essa matriz como uma combinação linear das matrizes que compõem a base fornecida. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente de combinação linear e resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a base fornecida. A base é formada por quatro matrizes:
B1 = -1 & 1 0 & 0, B2 = 1 & 1 0 & 0, B3 = 0 & 0 1 & 0, B4 = 0 & 0 0 & 1
Nosso objetivo é encontrar escalares c1, c2, c3, c4 tais que:
2 & 0 -1 & 3 = c1 B1 + c2 B2 + c3 B3 + c4 B4

Passo 3

Vamos escrever essa combinação linear explicitamente. Isso significa multiplicar cada matriz da base pelo seu respectivo coeficiente e somar tudo:
c1 -1 & 1 0 & 0 + c2 1 & 1 0 & 0 + c3 0 & 0 1 & 0 + c4 0 & 0 0 & 1 = 2 & 0 -1 & 3

Passo 4

Fazendo as multiplicações e somando as matrizes, temos:
- c1 + c2 & c1 + c2 c3 & c4 = 2 & 0 -1 & 3
Isso nos dá um sistema de equações:
- c1 + c2 = 2 c1 + c2 = 0 c3 = -1 c4 = 3

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Já temos c3 = -1 e c4 = 3. Agora, focamos nas duas primeiras equações:
- c1 + c2 = 2 c1 + c2 = 0
Somando as duas equações:
(-c1 + c2) + (c1 + c2) = 2 + 0 2c2 = 2 c2 = 1
Agora, substituímos c2 = 1 na segunda equação:
c1 + 1 = 0 c1 = -1

Resposta

As coordenadas do vetor 2 & 0 -1 & 3 em relação à base dada são:
boxed -1 1 -1 3

Exercícios relacionados

Mostre que o conjunto de vetores dados abaixo é uma base de M2(R).
[rr 3 & 6 3 & -6 ],[rr 0 & -1 -1 & 0 ],[cc 0 & -8 -12 & -4 ],[rr 1 & 0 -1 & 2 ]
Classifique a afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando a resposta:
O vetor v=(4,3,-6) é uma combinação linear dos vetores v1=(1,-3,2) e v2=(2,4,-1).
Dada a aplicação
& T: R^2 longrightarrow R^2 &(x, y) & longmapsto T(x, y)=(2 y, x+y) :
Mostre que T é um operador linear.
Dar uma base e a dimensão do subespaço W de R^4 tal que W=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y=y e x-3 y+7=0