Determinar as coordenados dos vetores abaixo em relaçao às bases dadas:
d) em relação à base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor (que na verdade é uma matriz) em relação a uma base específica de matrizes . Isso significa que precisamos expressar essa matriz como uma combinação linear das matrizes que compõem a base fornecida. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente de combinação linear e resolução de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a base fornecida. A base é formada por quatro matrizes:
Nosso objetivo é encontrar escalares tais que:
Passo 3
Vamos escrever essa combinação linear explicitamente. Isso significa multiplicar cada matriz da base pelo seu respectivo coeficiente e somar tudo:
Passo 4
Fazendo as multiplicações e somando as matrizes, temos:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Já temos c3 = -1 e c4 = 3. Agora, focamos nas duas primeiras equações:
- c1 + c2 = 2 c1 + c2 = 0
Somando as duas equações:
(-c1 + c2) + (c1 + c2) = 2 + 0 2c2 = 2 c2 = 1
Agora, substituímos c2 = 1 na segunda equação:
c1 + 1 = 0 c1 = -1
Resposta
As coordenadas do vetor 2 & 0 -1 & 3 em relação à base dada são: