Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência da forma para . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência chega a um valor fixo quando fica cada vez maior (ou seja, se ela converge) ou se ela não tem esse comportamento (diverge). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e uma constante bem famosa chamada número de Euler, representada por .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa sequência. À medida que cresce, o termo fica menor, então estamos basicamente elevando mais um pedacinho cada vez menor a uma potência que também está crescendo. Isso pode parecer meio confuso, mas tem um comportamento interessante.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite de uma sequência. O limite nos diz qual valor a sequência se aproxima quando tende ao infinito. No caso da nossa sequência, sabemos de matemática avançada que:
Onde é aproximadamente e é uma constante muito importante em cálculo e matemática em geral.

Passo 4

Então, aplicando esse conceito à nossa sequência, vemos que à medida que fica cada vez maior, se aproxima de . Isso significa que a sequência está convergindo para o valor .

Resposta

A sequência converge e o seu limite é , ou seja:

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Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
Se uma sequência , então também diverge.
Considere a superfície gerada pela rotação da curva , em torno do eixo , parametrizada por
Indique, com limites de integração, as integrais repetidas que calculam a massa de , sabendo que a densidade é .
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.