Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
{(1 + 1/n)^n}_{n ≥ 1}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência da forma para n ≥ 1. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência chega a um valor fixo quando n fica cada vez maior (ou seja, se ela converge) ou se ela não tem esse comportamento (diverge). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e uma constante bem famosa chamada número de Euler, representada por e.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa sequência. À medida que n cresce, o termo 1/n fica menor, então estamos basicamente elevando 1 mais um pedacinho cada vez menor a uma potência que também está crescendo. Isso pode parecer meio confuso, mas tem um comportamento interessante.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite de uma sequência. O limite nos diz qual valor a sequência se aproxima quando n tende ao infinito. No caso da nossa sequência, sabemos de matemática avançada que:
Onde e é aproximadamente e é uma constante muito importante em cálculo e matemática em geral.

Passo 4

Então, aplicando esse conceito à nossa sequência, vemos que à medida que n fica cada vez maior, se aproxima de e. Isso significa que a sequência está convergindo para o valor e.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é e, ou seja:

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