Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda sequência monótona é limitada;
Passo 1
Então, a gente tem uma afirmação que diz: “Toda sequência monótona é limitada”. Nosso objetivo aqui é descobrir se isso é verdade (V) ou falso (F). Para isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona e o que é ser limitada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre sequência monótona. Uma sequência é monótona se ela está sempre crescendo ou sempre diminuindo. Por exemplo, a sequência 1, 2, 3, 4, … é monótona crescente porque cada número é maior que o anterior.
Passo 3
Agora, sobre ser limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que ela nunca ultrapassa, tanto acima quanto abaixo. Por exemplo, a sequência 1, 1/2, 1/3, 1/4, … é limitada porque nunca passa de 1 e nunca fica abaixo de 0.
Passo 4
Mas nem toda sequência monótona é limitada. Vamos olhar para um exemplo: a sequência 1, 2, 3, 4, … é monótona crescente, mas ela não tem um limite superior. Ou seja, ela fica cada vez maior sem parar, então não é limitada.
Passo 5
Portanto, encontramos um contra-exemplo que mostra que nem toda sequência monótona é limitada.
Resposta
(F) A afirmação é falsa. Por exemplo, a sequência 1, 2, 3, 4, … é monótona crescente, mas não é limitada.
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Considere a sequência dada por
A sequência é convergente? Justifique!
Seja
dada por
e
. Mostre que
e que (
é monótona crescente. Conclua que
converge e calcule
.
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda seqüência convergente é monótona;
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) a sequência
dada por
e
é convergente.