Considere a sequência dada por
A sequência é convergente? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se uma sequência é convergente. A sequência é definida assim:
Para resolver isso, vamos precisar entender sequências e limites. Basicamente, queremos descobrir se, conforme “n” vai crescendo, os valores da sequência se aproximam de um número específico.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender como a sequência se comporta. Começamos com
.
Calculando o próximo termo:
Vamos calcular mais alguns termos para ver a tendência:
Vemos que os termos estão aumentando e se aproximando de 4, mas nunca ultrapassam esse valor.
Passo 3
Agora, vamos usar a teoria dos limites de sequências para provar se de fato a sequência converge para algum número.
Assumimos que a sequência converge para um limite
. Se isso acontece, então tanto
quanto
vão se aproximar de
. Assim, podemos escrever:
Resolvendo essa equação para
:
Então, o limite
é 4.
Passo 4
Para confirmar que a sequência realmente converge para 4, vamos ver como os termos se comportam. Cada termo está sendo atualizado pela média entre o termo anterior e 4, o que vai puxando os valores cada vez mais para 4. Além disso, como a sequência está sendo atualizada por uma média ponderada, ela não oscilará e continuará se aproximando de 4.
Resposta
Sim, a sequência é convergente e seu limite é 4.
Exercícios relacionados
Seja
dada por
e
. Mostre que
e que (
é monótona crescente. Conclua que
converge e calcule
.
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda sequência monótona é limitada;
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda seqüência convergente é monótona;