Considere a sequência dada por
a1 = 2 e an+1 = (1/2)(an + 4), n ≥ 1
A sequência é convergente? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se uma sequência é convergente. A sequência é definida assim:
Para resolver isso, vamos precisar entender sequências e limites. Basicamente, queremos descobrir se, conforme “n” vai crescendo, os valores da sequência se aproximam de um número específico.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender como a sequência se comporta. Começamos com .
Calculando o próximo termo:
Vamos calcular mais alguns termos para ver a tendência:
Vemos que os termos estão aumentando e se aproximando de 4, mas nunca ultrapassam esse valor.

Passo 3

Agora, vamos usar a teoria dos limites de sequências para provar se de fato a sequência converge para algum número.
Assumimos que a sequência converge para um limite . Se isso acontece, então tanto quanto vão se aproximar de . Assim, podemos escrever:
Resolvendo essa equação para :
Então, o limite é 4.

Passo 4

Para confirmar que a sequência realmente converge para 4, vamos ver como os termos se comportam. Cada termo está sendo atualizado pela média entre o termo anterior e 4, o que vai puxando os valores cada vez mais para 4. Além disso, como a sequência está sendo atualizada por uma média ponderada, ela não oscilará e continuará se aproximando de 4.

Resposta

Sim, a sequência é convergente e seu limite é 4.

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