Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda seqüência convergente é monótona;
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Toda sequência convergente é monótona”. Aqui, estamos trabalhando com sequências numéricas, especificamente abordando os conceitos de convergência e monotonicidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um certo número à medida que avanços nas suas posições. Por exemplo, a sequência
converge para 0 porque, conforme
aumenta, os termos ficam cada vez mais próximos de 0.
Já uma sequência é monótona se ela é sempre crescente ou sempre decrescente. Ou seja, cada termo é maior ou menor que o anterior. Por exemplo,
é uma sequência monótona crescente, e
é monótona decrescente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se toda sequência que converge necessariamente é monótona. Para isso, precisamos encontrar uma contra-exemplo que mostre que a afirmação não é sempre verdadeira.
Considere a sequência
. Vamos analisar:
- Convergência:
converge para 0, já que tende a 0 quando cresce. - Monotonicidade: A sequência alterna sinais positivos e negativos, aumentando e diminuindo em valor absoluto, o que significa que não é nem sempre crescente nem sempre decrescente.
Portanto, essa sequência é convergente, mas não é monótona.
Resposta
Falso (F)
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Considere a sequência dada por
A sequência é convergente? Justifique!
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) a sequência
dada por
e
é convergente.