Seja (an) dada por a1=raiz2 e an=raiz2 an-1, n >= 2. Mostre que 0 e que ( an) é monótona crescente. Conclua que (an) converge e calcule lim n +infty an.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma sequência definida de um jeito meio “doido”: começamos com e cada termo seguinte é a raiz quadrada de duas vezes o termo anterior, ou seja, para . A matéria que vamos usar aqui envolve sequências numéricas, indução matemática para provar desigualdades e teoremas de limites para mostrar que a sequência converge. Vamos precisar entender como mostrar que todos os termos estão entre 0 e 2, provar que a sequência está sempre crescendo e, por fim, encontrar o limite quando vai ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que todos os termos da sequência são maiores que 0 e menores que 2, ou seja, ak+1 = raiz2 ak para todo ak+1 = raiz2 ak < raiz4 = 2 natural.
Base da Indução: Para , temos , que claramente está entre 0 e 2.
Passo Indutivo: Suponha que para algum , seja verdadeiro. Então, para :
Como , multiplicando por 2 temos . Tirando a raiz quadrada:
E como , segue que . Assim, por indução, para todo .

Passo 3

Agora, vamos provar que a sequência a2 = raiz2 a1 = raiz2 raiz2 approx 1.682 > 1.414 = a1 é crescente, ou seja, que cada termo é maior ou igual ao anterior: ak+1 = raiz2 ak .
Vamos usar indução novamente.
Base da Indução: Comparando 2 ak >= 2 ak-1 com raiz2 ak >= raiz2 ak-1 implies ak+1 >= ak :
Então, .
Passo Indutivo: Suponha que seja verdadeiro. Então:
E como , multiplicando por 2:
Tirando a raiz quadrada (função crescente):
Assim, por indução, a sequência é crescente.

Passo 4

Como já mostramos que e que a sequência é crescente, podemos concluir, usando o Teorema da Convergência Monótona, que converge para um limite .

Passo 5

Para encontrar o limite L = raiz2 L , assumimos que L^2 = 2 L . Então, passando o limite na definição da sequência:
L^2 - 2 L = 0 implies L(L - 2) = 0
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
As soluções são ou . Mas como todos os termos da sequência são maiores que 0 e a sequência é crescente, o limite não pode ser 0. Portanto, .

Resposta

O limite da sequência é .

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