Seja
dada por
e
. Mostre que
e que (
é monótona crescente. Conclua que
converge e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma sequência definida de um jeito meio “doido”: começamos com
e cada termo seguinte é a raiz quadrada de duas vezes o termo anterior, ou seja,
para
. A matéria que vamos usar aqui envolve sequências numéricas, indução matemática para provar desigualdades e teoremas de limites para mostrar que a sequência converge. Vamos precisar entender como mostrar que todos os termos estão entre 0 e 2, provar que a sequência está sempre crescendo e, por fim, encontrar o limite quando
vai ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que todos os termos da sequência são maiores que 0 e menores que 2, ou seja,
para todo
natural.
Base da Indução: Para
, temos
, que claramente está entre 0 e 2.
Passo Indutivo: Suponha que para algum
,
seja verdadeiro. Então, para
:
Como
, multiplicando por 2 temos
. Tirando a raiz quadrada:
E como
, segue que
. Assim, por indução,
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos provar que a sequência
é crescente, ou seja, que cada termo é maior ou igual ao anterior:
.
Vamos usar indução novamente.
Base da Indução: Comparando
com
:
Então,
.
Passo Indutivo: Suponha que
seja verdadeiro. Então:
E como
, multiplicando por 2:
Tirando a raiz quadrada (função crescente):
Assim, por indução, a sequência é crescente.
Passo 4
Como já mostramos que
e que a sequência é crescente, podemos concluir, usando o Teorema da Convergência Monótona, que
converge para um limite
.
Passo 5
Para encontrar o limite
, assumimos que
. Então, passando o limite na definição da sequência:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
As soluções são
ou
. Mas como todos os termos da sequência são maiores que 0 e a sequência é crescente, o limite não pode ser 0. Portanto,
.
Resposta
O limite da sequência é
.
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Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda sequência monótona é limitada;