Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) a sequência
dada por
e
é convergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma afirmação sobre uma sequência
definida por
e
. O objetivo é classificar essa afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F) e mostrar o porquê. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática das sequências, especificamente sobre convergência. Precisamos verificar se a sequência tende a um número específico conforme
cresce indefinidamente.
Passo 2
Vamos começar calculando os primeiros termos da sequência para observar um padrão:
Parece que a sequência está diminuindo e se aproximando de um valor menor.
Passo 3
Vamos supor que a sequência
converge para um limite
. Se a sequência converge, então:
Usando a relação de recorrência:
Sabemos que:
Então:
Essa equação não nos dá uma informação direta sobre
. Precisamos de outra abordagem.
Passo 4
Vamos tentar expressar
de forma explícita. Observamos que:
Podemos escrever isso como:
Isso sugere que cada termo é o anterior multiplicado por um fator que se aproxima de 1 à medida que
aumenta.
Passo 5
Vamos multiplicar os termos sucessivos para encontrar uma expressão geral para
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite de
conforme
tende ao infinito:
Isso significa que a sequência converge para 0.
Resposta
(V) A afirmação é verdadeira. A sequência
converge para 0.
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Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda seqüência convergente é monótona;
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda sequência monótona é limitada;
Use o teorema do Confronto para mostrar que