Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) a sequência dada por e é convergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma afirmação sobre uma sequência definida por e . O objetivo é classificar essa afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F) e mostrar o porquê. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática das sequências, especificamente sobre convergência. Precisamos verificar se a sequência tende a um número específico conforme cresce indefinidamente.

Passo 2

Vamos começar calculando os primeiros termos da sequência para observar um padrão:
Parece que a sequência está diminuindo e se aproximando de um valor menor.

Passo 3

Vamos supor que a sequência converge para um limite . Se a sequência converge, então:
Usando a relação de recorrência:
Sabemos que:
Então:
Essa equação não nos dá uma informação direta sobre . Precisamos de outra abordagem.

Passo 4

Vamos tentar expressar de forma explícita. Observamos que:
Podemos escrever isso como:
Isso sugere que cada termo é o anterior multiplicado por um fator que se aproxima de 1 à medida que aumenta.

Passo 5

Vamos multiplicar os termos sucessivos para encontrar uma expressão geral para :
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite de conforme tende ao infinito:
Isso significa que a sequência converge para 0.

Resposta

(V) A afirmação é verdadeira. A sequência converge para 0.

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Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda seqüência convergente é monótona;
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda sequência monótona é limitada;
Use o teorema do Confronto para mostrar que