Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
tende ao infinito da expressão
. Estamos lidando com limites envolvendo funções polinomiais e trigonométricas. Para resolver, vamos analisar o comportamento de cada parte da fração conforme
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com
quando
vai para o infinito. A função arco-tangente (
) tem um limite conhecido:
. Então, quando
aumenta,
cresce muito rápido, fazendo com que
se aproxime de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo
. Aqui,
alterna entre
e
dependendo se
é par ou ímpar. Portanto,
alterna entre
e
, ou seja, cresce em magnitude positiva e negativa sem limites conforme
aumenta.
Passo 4
No denominador, temos
. À medida que
cresce, o termo
domina, então
se comporta praticamente como
.
Passo 5
Vamos reescrever a expressão original considerando os comportamentos observados:
Dividindo cada termo do numerador por
:
Passo 6
Agora, vamos analisar os limites de cada termo separado:
-
, porque tende a zero. -
, já que também tende a zero, independente do sinal alternante.
Resposta
O limite é
.
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e
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