lim n +infty arctan 2^n+(-1)^n nn^3+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Estamos lidando com limites envolvendo funções polinomiais e trigonométricas. Para resolver, vamos analisar o comportamento de cada parte da fração conforme cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com quando vai para o infinito. A função arco-tangente ( ) tem um limite conhecido: . Então, quando aumenta, cresce muito rápido, fazendo com que se aproxime de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo . Aqui, alterna entre e dependendo se é par ou ímpar. Portanto, alterna entre e , ou seja, cresce em magnitude positiva e negativa sem limites conforme aumenta.

Passo 4

No denominador, temos . À medida que cresce, o termo domina, então se comporta praticamente como .

Passo 5

Vamos reescrever a expressão original considerando os comportamentos observados:
arctan 2^n + (-1)^n nn^3 + 1 approx pi2 + (-1)^n nn^3
Dividindo cada termo do numerador por approx pi2 n^3 + (-1)^n nn^3 = pi2 n^3 + (-1)^nn^2 :

Passo 6

Agora, vamos analisar os limites de cada termo separado:
  1. , porque tende a zero.
  2. , já que também tende a zero, independente do sinal alternante.

Resposta

O limite é .

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