Use o teorema do Confronto para mostrar que
lim n +infty raiz[n]a^n+b^n=max a, b, a, b >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem) para encontrar o limite de uma sequência. A sequência que a gente precisa analisar é:
lim n +infty raiz[n]a^n+b^n=max(a, b), a, b >= 0
Vamos precisar entender como o Teorema do Confronto funciona e aplicar algumas propriedades de limites e potências para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se você tem três sequências, digamos f(n) <= g(n) <= h(n) , e , e para todo :
E se os limites de e quando vai para infinito são iguais a , então o limite de também será .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa sequência . Primeiro, note que e são potências onde e são maiores ou iguais a zero. Sem perda de generalidade, vamos supor que . Assim, .

Passo 4

Observando a expressão a^n <= a^n + b^n <= a^n + a^n = 2a^n , como , quando cresce, vai dominar . Então, podemos afirmar que:

Passo 5

Agora, vamos tirar a raiz raiz[n]a^n <= raiz[n]a^n + b^n <= raiz[n]2a^n -ésima de todas as partes dessa desigualdade:
a <= raiz[n]a^n + b^n <= raiz[n]2 cdot a
Simplificando as raízes:

Passo 6

Agora, vamos analisar os limites das extremidades quando limn to infty raiz[n]2 = 1 tende ao infinito. Sabemos que:
limn to infty raiz[n]2 cdot a = 1 cdot a = a
Então, o limite da parte direita da desigualdade fica:
E a parte esquerda já é .

Passo 7

Aplicando o Teorema do Confronto, já que as duas extremidades têm o limite igual a lim n +infty raiz[n]a^n+b^n = a = max(a, b) , o limite da nossa sequência intermediária também será :

Resposta

Portanto,
lim n +infty raiz[n]a^n+b^n = max(a, b)

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