Use o teorema do Confronto para mostrar que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem) para encontrar o limite de uma sequência. A sequência que a gente precisa analisar é:
Vamos precisar entender como o Teorema do Confronto funciona e aplicar algumas propriedades de limites e potências para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se você tem três sequências, digamos , e , e para todo :
E se os limites de e quando vai para infinito são iguais a , então o limite de também será .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa sequência . Primeiro, note que e são potências onde e são maiores ou iguais a zero. Sem perda de generalidade, vamos supor que . Assim, .

Passo 4

Observando a expressão , como , quando cresce, vai dominar . Então, podemos afirmar que:

Passo 5

Agora, vamos tirar a raiz -ésima de todas as partes dessa desigualdade:
Simplificando as raízes:

Passo 6

Agora, vamos analisar os limites das extremidades quando tende ao infinito. Sabemos que:
Então, o limite da parte direita da desigualdade fica:
E a parte esquerda já é .

Passo 7

Aplicando o Teorema do Confronto, já que as duas extremidades têm o limite igual a , o limite da nossa sequência intermediária também será :

Resposta

Portanto,

Exercícios relacionados

Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) a sequência dada por e é convergente.
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda sequência limitada é convergente;
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda sequência divergente é não monótona;