Use o teorema do Confronto para mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem) para encontrar o limite de uma sequência. A sequência que a gente precisa analisar é:
Vamos precisar entender como o Teorema do Confronto funciona e aplicar algumas propriedades de limites e potências para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se você tem três sequências, digamos
,
e
, e para todo
:
E se os limites de
e
quando
vai para infinito são iguais a
, então o limite de
também será
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa sequência
. Primeiro, note que
e
são potências onde
e
são maiores ou iguais a zero. Sem perda de generalidade, vamos supor que
. Assim,
.
Passo 4
Observando a expressão
, como
, quando
cresce,
vai dominar
. Então, podemos afirmar que:
Passo 5
Agora, vamos tirar a raiz
-ésima de todas as partes dessa desigualdade:
Simplificando as raízes:
Passo 6
Agora, vamos analisar os limites das extremidades quando
tende ao infinito. Sabemos que:
Então, o limite da parte direita da desigualdade fica:
E a parte esquerda já é
.
Passo 7
Aplicando o Teorema do Confronto, já que as duas extremidades têm o limite igual a
, o limite da nossa sequência intermediária também será
:
Resposta
Portanto,
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Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) a sequência
dada por
e
é convergente.
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda sequência limitada é convergente;
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda sequência divergente é não monótona;