Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda sequência limitada é convergente;
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente dizer se a afirmação “Toda sequência limitada é convergente” é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com o conteúdo de sequências numéricas, especificamente olhando para se uma sequência que é limitada (ou seja, que não cresce para mais ou para menos infinito) sempre chega a um número específico (converge). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e o que é convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que é um limite superior e outro que é um limite inferior para todos os seus termos. Por exemplo, a sequência
gera os números -1 e 1 repetidamente, então ela é limitada porque nunca ultrapassa esses valores.
Agora, o que é uma sequência convergente? Uma sequência converge se, conforme você vai até o infinito, seus termos começam a se aproximar cada vez mais de um único número. Ou seja, existe um número
tal que, para termos da sequência além de certo ponto, todos estão muito próximos de
.
Passo 3
Embora todas as sequências convergentes sejam limitadas, o contrário não é verdadeiro. Nem toda sequência limitada converge. Podemos dar um contra-exemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
Considere a sequência
. Os termos dessa sequência são -1, 1, -1, 1, e assim por diante. Essa sequência é limitada porque todos os seus termos estão entre -1 e 1. No entanto, ela não converge, porque não se aproxima de nenhum número específico à medida que
cresce; ela continua alternando entre -1 e 1 sem se estabilizar.
Resposta
F
Exercícios relacionados
Use o teorema do Confronto para mostrar que
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Se
e
são sequênciais tais que
, então a sequência
é convergente.