Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Se
e
são sequênciais tais que
, então a sequência
é convergente.
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado da questão. A afirmação nos diz que, se temos duas sequências
e
onde
, então a sequência resultante
é convergente. O conteúdo envolvido aqui é sobre limites de sequências e convergência. Para resolver, precisamos entender como o comportamento das sequências individuais afeta a sequência produto.
Passo 2
Primeiro, interpretamos a afirmação: se uma sequência
tende a zero e multiplicamos cada termo por uma outra sequência
, a nova sequência
sempre vai convergir? Para verificar isso, vamos analisar se essa propriedade é verdadeira para todas as possíveis sequências
.
Passo 3
Vamos considerar um contraponto à afirmação para verificar sua veracidade. Se conseguirmos encontrar um exemplo em que
tende a zero, mas
não converge, então a afirmação é falsa.
Passo 4
Considere a sequência
. É fácil ver que
, já que o denominador cresce sem limite.
Passo 5
Agora, vamos definir
. Essa sequência não converge porque oscila entre valores positivos e negativos que aumentam em magnitude conforme
cresce.
Passo 6
Multiplicando as duas sequências, temos:
A sequência resultante
alterna entre 1 e -1 indefinidamente e, portanto, não converge.
Resposta
F