Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Se (an) e (bn) são sequênciais tais que lim n +infty an=0, então a sequência (an bn) é convergente.

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado da questão. A afirmação nos diz que, se temos duas sequências e onde , então a sequência resultante é convergente. O conteúdo envolvido aqui é sobre limites de sequências e convergência. Para resolver, precisamos entender como o comportamento das sequências individuais afeta a sequência produto.

Passo 2

Primeiro, interpretamos a afirmação: se uma sequência tende a zero e multiplicamos cada termo por uma outra sequência , a nova sequência sempre vai convergir? Para verificar isso, vamos analisar se essa propriedade é verdadeira para todas as possíveis sequências .

Passo 3

Vamos considerar um contraponto à afirmação para verificar sua veracidade. Se conseguirmos encontrar um exemplo em que tende a zero, mas não converge, então a afirmação é falsa.

Passo 4

Considere a sequência . É fácil ver que , já que o denominador cresce sem limite.

Passo 5

Agora, vamos definir . Essa sequência não converge porque oscila entre valores positivos e negativos que aumentam em magnitude conforme cresce.

Passo 6

Multiplicando as duas sequências, temos:
an bn = 1raizn cdot (-1)^n raizn = (-1)^n
A sequência resultante alterna entre 1 e -1 indefinidamente e, portanto, não converge.

Resposta

F

Exercícios relacionados