Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Se a sequência |a_n| converge, então a_n também converge;

Passo 1

Vamos dar uma olhada na afirmação que precisamos classificar como verdadeira (V) ou falsa (F). A afirmação diz: “Se a sequência converge, então também converge.” O conteúdo aqui é sobre sequências e convergência. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma sequência convergir e como o comportamento da sequência dos valores absolutos se relaciona com a sequência original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico à medida que aumenta. Ou seja, existe um número tal que, para qualquer proximidade desejada, os termos da sequência ficam tão próximos de quanto quisermos quando é grande o suficiente.
Agora, a afirmação diz que se a sequência dos valores absolutos converge, então a sequência original também converge. Para verificar se isso é sempre verdadeiro, podemos tentar encontrar um contra-exemplo, ou seja, uma sequência onde converge, mas não converge.
Considere a sequência . Vamos analisar:
  • A sequência dos valores absolutos é para todo . Claramente, essa sequência converge para 1.
  • No entanto, a sequência original não converge, porque ela oscila entre -1 e 1 indefinidamente e nunca se estabiliza em um único valor.

Resposta

F

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