Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Se a sequência
converge, então
também converge;
Passo 1
Vamos dar uma olhada na afirmação que precisamos classificar como verdadeira (V) ou falsa (F). A afirmação diz: “Se a sequência
converge, então
também converge.” O conteúdo aqui é sobre sequências e convergência. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma sequência convergir e como o comportamento da sequência dos valores absolutos se relaciona com a sequência original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Uma sequência
converge se ela se aproxima de um número específico à medida que
aumenta. Ou seja, existe um número
tal que, para qualquer proximidade desejada, os termos da sequência ficam tão próximos de
quanto quisermos quando
é grande o suficiente.
Agora, a afirmação diz que se a sequência dos valores absolutos
converge, então a sequência original
também converge. Para verificar se isso é sempre verdadeiro, podemos tentar encontrar um contra-exemplo, ou seja, uma sequência onde
converge, mas
não converge.
Considere a sequência
. Vamos analisar:
- A sequência dos valores absolutos é
para todo . Claramente, essa sequência converge para 1. - No entanto, a sequência original
não converge, porque ela oscila entre -1 e 1 indefinidamente e nunca se estabiliza em um único valor.
Resposta
F