Considere a sequência dada por
A sequência é monótona? Justifique!
Passo 1
Então, temos uma sequência onde o primeiro termo é
e cada termo seguinte é dado por
. O que queremos descobrir é se essa sequência é monótona, ou seja, se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Para resolver isso, vamos analisar como os termos se comportam ao longo da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao termo anterior. Já é monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao termo anterior. Se a sequência não segue nenhum desses padrões, ela não é monótona.
Passo 3
Vamos calcular os primeiros termos da sequência para ver como ela se comporta:
Passo 4
Observando os termos calculados, vemos que cada termo está aumentando em relação ao anterior:
. Isso indica que a sequência está crescendo a cada passo.
Além disso, podemos notar que a sequência está se aproximando cada vez mais de 4, mas nunca ultrapassa esse valor. Isso reforça a ideia de que a sequência está aumentando de forma constante.
Passo 5
Como cada termo da sequência é maior que o anterior e a sequência continua crescendo, podemos concluir que ela é monótona crescente.
Resposta
Sim, a sequência é monótona crescente.