Considere a sequência dada por
a1 = 2 e an+1 = (1/2)(an + 4), n ≥ 1
A sequência é monótona? Justifique!

Passo 1

Então, temos uma sequência onde o primeiro termo é e cada termo seguinte é dado por . O que queremos descobrir é se essa sequência é monótona, ou seja, se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Para resolver isso, vamos analisar como os termos se comportam ao longo da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao termo anterior. Já é monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao termo anterior. Se a sequência não segue nenhum desses padrões, ela não é monótona.

Passo 3

Vamos calcular os primeiros termos da sequência para ver como ela se comporta:

Passo 4

Observando os termos calculados, vemos que cada termo está aumentando em relação ao anterior: . Isso indica que a sequência está crescendo a cada passo.
Além disso, podemos notar que a sequência está se aproximando cada vez mais de 4, mas nunca ultrapassa esse valor. Isso reforça a ideia de que a sequência está aumentando de forma constante.

Passo 5

Como cada termo da sequência é maior que o anterior e a sequência continua crescendo, podemos concluir que ela é monótona crescente.

Resposta

Sim, a sequência é monótona crescente.

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