Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo. ( ) Toda sequência limitada é monótona;

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma afirmação que diz: “Toda sequência limitada é monótona.” A gente vai trabalhar com conceitos de sequências numéricas, especificamente olhando para o que significa uma sequência ser limitada e ser monótona. Para resolver isso, vamos precisar entender esses dois conceitos e ver se realmente toda sequência que é limitada também precisa ser monótona.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma sequência limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que é o limite superior e outro que é o limite inferior para todos os termos da sequência. Por exemplo, a sequência é limitada se existe um número tal que para todo .

Passo 3

Agora, vamos definir o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona se ela é sempre crescente ou sempre decrescente. Ou seja, para todo , ou (crescente) ou (decrescente).

Passo 4

A afirmação quer dizer que se uma sequência é limitada, então ela tem que ser monótona. Mas vamos pensar: será que toda sequência que não cresce nem diminui de forma consistente pode ser limitada? Sim, dá pra ter sequências que os termos ficam girando dentro de certos limites sem ser totalmente crescentes ou decrescentes.
Um contra-exemplo simples é a sequência alternada . Vamos ver:
  • Limitação: Todos os termos dessa sequência são ou , então ela está limitada por e .
  • Monotonicidade: A sequência alterna entre e , ou seja, não está sempre crescendo nem sempre decrescendo.
Isso mostra que existe uma sequência que é limitada mas não é monótona.

Resposta

F (Falsa)

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