Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contraexemplo.
§ ( ) Se
diverge, então
diverge;
§ ( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma afirmação que diz: “Se a série
diverge, então a série
também diverge.” O conteúdo aqui envolve séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, precisamos entender quando uma série converge ou diverge e ver se a divergência da primeira implica na divergência da segunda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série divergir ou convergir. Uma série
converge se a soma dos seus termos tende a um limite finito quando vamos adicionando mais termos. Caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação. Ela sugere que se
não tem um limite finito (diverge), então
também não terá. Mas isso sempre acontece?
Passo 4
Vamos pensar em um exemplo concreto. Tome a série harmônica:
. Sabemos que essa série diverge. Agora, considere a série dos quadrados desses termos:
.
Passo 5
Sabemos que a série
é uma série p, onde
. Para séries p, se
, a série converge. Então, mesmo que
diverja,
converge.
Passo 6
Isso mostra que é possível ter uma série
que diverge, mas a série
converge. Portanto, a afirmação original não é sempre verdadeira.
Resposta
Falsa (F). Por exemplo, a série harmônica
diverge, mas a série dos quadrados
converge.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule:
b) encontre a derivada direcional no ponto na direção do vetor
b) encontre a derivada direcional no ponto
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(b)
(b)
Fazer os gráficos das funções simples abaixo, ressaltando as mudanças de escala e translação:
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(t)
(t)