Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
(t)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o intervalo e o raio de convergência da seguinte série de potências:
Vamos precisar entender sobre séries de potências, convergência, e como calcular o raio de convergência usando o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para deixar mais fácil de trabalhar. Observamos que o expoente de é , então podemos reescrevê-la de forma a facilitar a aplicação do teste de convergência:
Para simplificar ainda mais, podemos ajustar o índice da soma:
Agora, temos a série na forma mais adequada para aplicar o teste da razão.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências. O teste da razão é dado por:
Se an+1an = (x+5)^(n+1)-1(n+1)^2 (x+5)^n-1n^2 = (x+5)^n(n+1)^2 cdot n^2(x+5)^n-1 = (x+5) cdot n^2(n+1)^2 , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty | (x+5) cdot n^2(n+1)^2 | :
L = limn to infty | (x+5) cdot 1(1 + 1n)^2 | = |x+5| cdot limn to infty 1(1 + 1n)^2 = |x+5| cdot 1 = |x+5|
Podemos simplificar a expressão dentro do limite dividindo numerador e denominador por :
Passo 5
Aplicando o resultado do limite L = |x+5| no teste da razão:
|x+5| < 1
Para que a série convirja, precisamos que :
Passo 6
Agora, vamos resolver a desigualdade -1 < x + 5 < 1 :
-6 < x < -4
Subtraindo R = 22 = 1 em todos os lados:
Esse é o intervalo de convergência. O raio de convergência é a metade do comprimento do intervalo. Como o intervalo de convergência vai de a , sua largura é , então o raio é: