Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contraexemplo.
(t) ( ) Se lim n +infty anbn=+infty e sumn=1^+infty bn converge, então sumn=1^+infty an converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação pra classificar como verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo aqui envolve limites de sequências e a convergência de séries. A gente vai precisar entender como comparar o comportamento das sequências e e usar isso para falar sobre a convergência das séries correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a afirmação está dizendo. Ela diz que se o limite de quando vai para o infinito é , e se a série converge, então a série também converge.

Passo 3

Agora, vamos analisar isso passo a passo. Se , isso significa que, para valores grandes de , o termo é muito maior que .

Passo 4

Sabemos que se converge, então os termos estão “diminuindo rápido o suficiente” para que a soma total não exploda para o infinito. Mas se é muito maior que para grandes , isso sugere que também precisa diminuir rápido, ou mais rápido que , para que também converja.

Passo 5

No entanto, a afirmação diz que apenas o limite sendo é suficiente para garantir a convergência de . Vamos ver se isso realmente é verdade.

Passo 6

Vamos pensar em um contraexemplo. Suponha que . Sabemos que converge (é a famosa série p com ).

Passo 7

Agora, vamos definir . Então, , e o limite quando vai para o infinito é , como na afirmação.

Passo 8

Mas, observe que é a série harmônica, que é conhecida por divergir.

Passo 9

Então, mesmo que converja e , a série não converge. Isso mostra que a afirmação não é verdadeira em todos os casos.

Resposta

Falso (F). Um contraexemplo é tomar e . Nesse caso, e converge, mas diverge.

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