Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contraexemplo.
(t) ( ) Se
e
converge, então
converge.
(t) ( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação pra classificar como verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo aqui envolve limites de sequências e a convergência de séries. A gente vai precisar entender como comparar o comportamento das sequências
e
e usar isso para falar sobre a convergência das séries correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a afirmação está dizendo. Ela diz que se o limite de
quando
vai para o infinito é
, e se a série
converge, então a série
também converge.
Passo 3
Agora, vamos analisar isso passo a passo. Se
, isso significa que, para valores grandes de
, o termo
é muito maior que
.
Passo 4
Sabemos que se
converge, então os termos
estão “diminuindo rápido o suficiente” para que a soma total não exploda para o infinito. Mas se
é muito maior que
para grandes
, isso sugere que
também precisa diminuir rápido, ou mais rápido que
, para que
também converja.
Passo 5
No entanto, a afirmação diz que apenas o limite sendo
é suficiente para garantir a convergência de
. Vamos ver se isso realmente é verdade.
Passo 6
Vamos pensar em um contraexemplo. Suponha que
. Sabemos que
converge (é a famosa série p com
).
Passo 7
Agora, vamos definir
. Então,
, e o limite quando
vai para o infinito é
, como na afirmação.
Passo 8
Mas, observe que
é a série harmônica, que é conhecida por divergir.
Passo 9
Então, mesmo que
converja e
, a série
não converge. Isso mostra que a afirmação não é verdadeira em todos os casos.
Resposta
Falso (F). Um contraexemplo é tomar
e
. Nesse caso,
e
converge, mas
diverge.