Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
(f) t * y' = raiz(1 - y^2)

Passo 1

Tá bom, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria que estamos lidando aqui é equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados por :
Aqui, a ideia é colocar todas as expressões com de um lado e as com do outro.

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Vamos calcular cada uma dessas integrais.

Passo 4

Resolvendo as integrais:
Aqui, e são constantes de integração. Podemos simplificar isso combinando as constantes em uma única constante .

Passo 5

Igualando as duas expressões e resolvendo para :
Para encontrar , aplicamos a função seno em ambos os lados:
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução da equação é:
onde é uma constante arbitrária.

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