Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
(f)
(f)
Passo 1
Tá bom, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria que estamos lidando aqui é equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
:
Aqui, a ideia é colocar todas as expressões com
de um lado e as com
do outro.
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Vamos calcular cada uma dessas integrais.
Passo 4
Resolvendo as integrais:
Aqui,
e
são constantes de integração. Podemos simplificar isso combinando as constantes em uma única constante
.
Passo 5
Igualando as duas expressões e resolvendo para
:
Para encontrar
, aplicamos a função seno em ambos os lados:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.