Determine para quais valores de h, k in R o sistema de equações lineares
r x1-3 x2=1 2 x1-h x2=k
é:
© compatível e indeterminado.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado do exercício. Temos um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas r x1-3 x2=1 2 x1-h x2=k e :
Aqui, e são números reais que precisamos determinar para que o sistema seja compatível e indeterminado, ou seja, que o sistema tenha infinitas soluções. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante e dependência entre as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema na forma de matriz para facilitar a análise:

$$
1 & -3 2 & -h x1 x2 = 1 k
De

6 - h = 0 Rightarrow h = 6
$$
O determinante dessa matriz é dado por:
Para que o sistema tenha infinitas soluções, o determinante deve ser zero:

Passo 3

Com 2x1 - 6x2 = k , vamos verificar se as duas equações são proporcionais, ou seja, se uma é um múltiplo da outra. Substituindo x1 - 3x2 = k2 na segunda equação:
k2 = 1 Rightarrow k = 2
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
Comparando com a primeira equação , para que as equações sejam proporcionais, os termos constantes também devem ser múltiplos. Portanto:

Resposta

O sistema é compatível e indeterminado quando e .

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