Verifique se existe alguma matriz-coluna b=[la b c] de modo que o sistema de equações lineares A x=b seja incompatível, onde A=[rrrr-1 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & -1 2 & 4 & 1 & 2]. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por , onde é uma matriz de coeficientes e é uma matriz-coluna com os termos independentes , e . A pergunta é: existe algum vetor para o qual esse sistema não tenha solução? Isso envolve conhecimentos sobre sistemas lineares, consistência e métodos para resolver esses sistemas, como a eliminação de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um sistema ser incompatível. Um sistema de equações lineares é incompatível quando não há nenhuma solução que satisfaça todas as equações simultaneamente. Isso geralmente acontece quando os vetores das colunas da matriz não conseguem gerar o vetor através de combinações lineares.

Passo 3

Para verificar se existe uma matriz-coluna que torna o sistema incompatível, precisamos analisar o espaço gerado pelas colunas de . Se o espaço coluna de não for todo o espaço tridimensional , então existem vetores que não pertencem a esse espaço, tornando o sistema incompatível para esses .

Passo 4

Vamos determinar o posto (rank) da matriz . O posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes. Se o posto de for menor que 3, o espaço coluna não será todo , e haverá vetores que não podem ser alcançados, tornando o sistema incompatível para esses vetores.

Passo 5

Vamos montar a matriz aumentada A = -1 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & -1 2 & 4 & 1 & 2 e realizar a eliminação de Gauss para encontrar o posto de . Entretanto, como é variável, podemos apenas analisar o posto de sozinho para verificar se ele é menor que 3.
A matriz é:
Vamos examinar as colunas para ver se elas são linearmente independentes.

Passo 6

Observando as colunas de :
  1. Primeira coluna:
  2. Segunda coluna:
  3. Terceira coluna:
  4. Quarta coluna:
Vamos verificar se alguma coluna pode ser escrita como combinação das outras. Se sim, isso significa que há dependência linear.

Passo 7

Vamos ver se a quarta coluna pode ser escrita como uma combinação das primeiras três. Suponha que:
1 = k1(-1) + k2(0) + k3(1) -1 = k1(0) + k2(0) + k3(2) 2 = k1(2) + k2(4) + k3(1)
Resolvendo a segunda equação:
-1 = 2k3 implies k3 = -12
Substituindo 1 = -k1 + 0 + (-12) implies -k1 = 1 + 12 implies k1 = -32 na primeira equação:
2 = 2(-32) + 4k2 + (-12) 2 = -3 + 4k2 - 12 2 + 3 + 12 = 4k2 5.5 = 4k2 implies k2 = 5.54 = 118
Agora na terceira equação:
Portanto, a quarta coluna pode ser escrita como combinação linear das primeiras três, o que significa que o posto de é 3.

Passo 8

Como o posto de é 3, que é igual à dimensão do espaço , o espaço coluna de é todo . Isso significa que para qualquer vetor em , existe uma solução para , tornando o sistema sempre compatível.

Resposta

Não existe nenhuma matriz-coluna que torne o sistema incompatível, pois o espaço gerado pelas colunas de é todo .

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