Verifique se existe alguma matriz-coluna de modo que o sistema de equações lineares seja incompatível, onde . Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado por , onde é uma matriz de coeficientes e é uma matriz-coluna com os termos independentes , e . A pergunta é: existe algum vetor para o qual esse sistema não tenha solução? Isso envolve conhecimentos sobre sistemas lineares, consistência e métodos para resolver esses sistemas, como a eliminação de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um sistema ser incompatível. Um sistema de equações lineares é incompatível quando não há nenhuma solução que satisfaça todas as equações simultaneamente. Isso geralmente acontece quando os vetores das colunas da matriz não conseguem gerar o vetor através de combinações lineares.
Passo 3
Para verificar se existe uma matriz-coluna que torna o sistema incompatível, precisamos analisar o espaço gerado pelas colunas de . Se o espaço coluna de não for todo o espaço tridimensional , então existem vetores que não pertencem a esse espaço, tornando o sistema incompatível para esses .
Passo 4
Vamos determinar o posto (rank) da matriz . O posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes. Se o posto de for menor que 3, o espaço coluna não será todo , e haverá vetores que não podem ser alcançados, tornando o sistema incompatível para esses vetores.
Passo 5
Vamos montar a matriz aumentada e realizar a eliminação de Gauss para encontrar o posto de . Entretanto, como é variável, podemos apenas analisar o posto de sozinho para verificar se ele é menor que 3.
A matriz é:
Vamos examinar as colunas para ver se elas são linearmente independentes.
Passo 6
Observando as colunas de :
Primeira coluna:
Segunda coluna:
Terceira coluna:
Quarta coluna:
Vamos verificar se alguma coluna pode ser escrita como combinação das outras. Se sim, isso significa que há dependência linear.
Passo 7
Vamos ver se a quarta coluna pode ser escrita como uma combinação das primeiras três. Suponha que:
Resolvendo a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora na terceira equação:
Portanto, a quarta coluna pode ser escrita como combinação linear das primeiras três, o que significa que o posto de é 3.
Passo 8
Como o posto de é 3, que é igual à dimensão do espaço , o espaço coluna de é todo . Isso significa que para qualquer vetor em , existe uma solução para , tornando o sistema sempre compatível.
Resposta
Não existe nenhuma matriz-coluna que torne o sistema incompatível, pois o espaço gerado pelas colunas de é todo .