Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, apresentando uma breve justificativa para sua resposta em cada caso.
(f) Seja uma matriz . Se uma forma escalonada de possui um pivô em cada coluna, então o sistema linear é compatível e determinado, para toda matriz-coluna que pode ser escrita como uma combinação linear das colunas de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se uma afirmação sobre matrizes e sistemas lineares é verdadeira ou falsa. O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas lineares, formas escalonadas de matrizes, pivôs e combinações lineares. Vamos precisar entender o que cada um desses termos significa para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma forma escalonada de uma matriz. É uma maneira de organizar a matriz de forma que fique mais fácil de resolver sistemas lineares. Nessa forma, cada linha que não seja toda de zeros começa com um número diferente de zeros, e esses números que começam as linhas são chamados de pivôs.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que se nessa forma escalonada da matriz tem um pivô em cada coluna, então o sistema é compatível e determinado para toda matriz coluna que pode ser escrita como uma combinação linear das colunas de .
Passo 4
Vamos entender o que significa o sistema ser compatível: isso quer dizer que existe pelo menos uma solução para o sistema. E ser determinado significa que essa solução é única. Para isso acontecer, a matriz precisa ter um pivô em cada coluna, indicando que as colunas são linhadamente independentes.
Passo 5
A condição de que pode ser escrita como uma combinação linear das colunas de garante que o sistema seja compatível, ou seja, temos pelo menos uma solução. Mas, para ser determinado, além de ter um pivô em cada coluna, precisamos que o número de equações seja igual ao número de incógnitas.
Passo 6
No entanto, se a matriz tem mais colunas que linhas (ou seja, mais incógnitas que equações), mesmo com um pivô em cada coluna, o sistema não será determinado, pois haverá infinitas soluções possíveis. Portanto, a afirmação não garante que o sistema será sempre determinado.
Resposta
A afirmação é falsa. Embora um pivô em cada coluna garanta que o sistema seja compatível, ele nem sempre é determinado, já que pode haver infinitas soluções dependendo do número de equações e incógnitas.