Um tubo em U contém um líquido de densidade desconhecida. Um óleo de massa específica de 800 kg / m^3 é derramado em um dos ramos do tubo até que a coluna de óleo atinja 12 cm de altura. Nessas condições, a interface de óleo-ar está 5,0cm acima do nível do líquido no outro ramo do tubo em U. Calcule a densidade do líquido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um tubo em formato de U com um líquido de densidade desconhecida. A gente adiciona óleo com massa específica de em um dos ramos até que a coluna de óleo tenha 12 cm de altura. Nessa situação, a interface entre o óleo e o ar está 5,0 cm acima do nível do líquido no outro ramo. Nosso objetivo aqui é calcular a densidade do líquido desconhecido. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de equilíbrio de fluidos e pressão hidrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. No tubo em U, temos dois ramos: em um deles, adicionamos óleo, e no outro, temos o líquido desconhecido. Como o sistema está em equilíbrio, a pressão na interface do óleo deve ser igual à pressão no líquido desconhecido.

Passo 3

Vamos lembrar a fórmula da pressão hidrostática:
P = rho cdot g cdot h
onde:
  • é a pressão,
  • é a densidade do fluido,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura da coluna do fluido.

Passo 4

No ramo com o óleo, a pressão na interface é dada por:
Pó<=o = rhoó<=o cdot g cdot hó<=o óóó
Sabemos que ó e ó.

Passo 5

No outro ramo, temos o líquido desconhecido. A interface está 5,0 cm (ou 0,05 m) acima do nível do líquido, então a altura efetiva da coluna do líquido que contribui para a pressão é negativa, já que a interface está acima, o que significa que a pressão é reduzida por essa altura:
Plíquido = rholíquido cdot g cdot (hlíquido - Deííí
onde .

Passo 6

Como o sistema está em equilíbrio, as pressões são iguais:
rhoó<=o cdot g cdot hó<=o = rholíquido cdot g cdot (hlíquido - Deóóíí
Podemos simplificar rhoó<=o cdot hó<=o = rholíquido cdot (hlíquido - De dos dois lados:
óóíí

Passo 7

Agora, vamos isolar rholíquido = rhoó<=o cdot hó<=ohlíquido - Deí:
rholíquido = 800 , kg/m^3 cdot 0,12 , m0 - 0,05 , m íóóí
Substituindo os valores:
í
A altura do líquido í no ramo sem óleo é zero, pois a interface está 5 cm acima do nível inicial, indicando que o óleo está empurrando o líquido para baixo.

Passo 8

Calculando:
rholíquido = 800 cdot 0,12-0,05 = 96-0,05 = -1920 , kg/m^3 í
A densidade não pode ser negativa, então consideramos o valor absoluto:
rholíquido = 1920 , kg/m^3 í

Resposta

A densidade do líquido desconhecido é de .

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