Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, apresentando uma breve justificativa para sua resposta em cada caso.
(i) Sejam uma matriz e uma forma escalonada de . Então o conjunto de todas as matrizes-coluna que são uma combinação linear das colunas de é exatamente igual ao conjunto de todas as matrizes-coluna que são uma combinação linear das colunas da matriz .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se uma afirmação sobre matrizes é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com matrizes, formas escalonadas (que é uma maneira de organizar as matrizes), e combinações lineares das colunas dessas matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é forma escalonada e como as operações que fazemos para chegar nessa forma afetam as combinações lineares das colunas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma escalonada de uma matriz. Quando colocamos uma matriz em forma escalonada, estamos reorganizando suas linhas usando operações de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, ou adicionar múltiplos de uma linha a outra). O objetivo é deixar a matriz mais “arrumada” para facilitar outros cálculos, como resolver sistemas de equações.
Agora, o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de uma matriz é chamado de espaço coluna dessa matriz. Esse espaço inclui todos os vetores que podem ser formados multiplicando as colunas da matriz por certos números e somando os resultados.
A pergunta está dizendo que o espaço coluna da matriz original é igual ao espaço coluna da sua forma escalonada . Mas será que isso é verdade?
As operações de linha que usamos para transformar em não mudam o espaço linha, mas elas podem mudar o espaço coluna. Isso porque as operações de linha afetam as colunas de maneira que não preserva necessariamente todas as combinações lineares possíveis das colunas originais.
Resposta
Falsa. Ao transformar em sua forma escalonada usando operações de linha, o espaço coluna pode mudar, então os conjuntos de combinações lineares das colunas de e de não são necessariamente iguais.